MateClar
← Capitol

Manual · pagina 68

Exercițiul 17 · Două oferte de internet mobil

(*Activitate în pereche*) Raisa și Matei compară două oferte de cartele preplătite pentru internet mobil. *Oferta lui Matei*: cost inițial de 5050 de lei, la care se adaugă un cost de 22 lei pentru fiecare GB suplimentar consumat. *Oferta Raisei*: cost inițial de 3030 de lei, la care se adaugă un cost de 44 lei pentru fiecare GB suplimentar consumat. Fie ff și gg funcțiile care exprimă costul total pentru Matei, respectiv Raisa, în funcție de numărul de GB suplimentari consumați (xx).

a) Scrieți expresiile analitice ale legilor f(x)f(x) și g(x)g(x).

b) Rezolvați ecuația f(x)=g(x)f(x) = g(x). Interpretați geometric și explicați ce reprezintă soluția obținută, în contextul ofertelor.

c) Ce ofertă ați alege, ca fiind mai avantajoasă din punct de vedere al costurilor, în condițiile unui consum de peste 1515 GB suplimentari?

a)Scrieți expresiile analitice ale legilor f(x)f(x) și g(x)g(x).

Costul total = costul inițial + (preț pe GB) × (numărul de GB suplimentari).

  1. 1. Oferta lui Matei

    Matei plătește 5050 de lei oricum, plus 22 lei pentru fiecare GB suplimentar. Încearcă întâi un caz concret.

    Verifică-te

    Cât plătește Matei în total pentru 55 GB suplimentari?
    Pentru xx GB suplimentari: f(x)=2x+50f(x) = 2x + 50, cu x≥0x \ge 0.

  2. 2. Oferta Raisei

    La fel, Raisa plătește un cost inițial o singură dată, plus un preț pentru fiecare GB suplimentar.

    Verifică-te

    Care este legea g(x)g(x)?
Răspuns
f(x)=2x+50f(x) = 2x + 50 și g(x)=4x+30g(x) = 4x + 30 (lei), unde x≥0x \ge 0 este numărul de GB suplimentari.

b)Rezolvați f(x)=g(x)f(x) = g(x), interpretați geometric și explicați soluția.

Adu termenii cu xx într-o parte și numerele în cealaltă. Geometric, cauți punctul comun al celor două grafice.

  1. 1. Rezolvarea algebrică

    2x+50=4x+302x + 50 = 4x + 30
    Scazi 2x2x și 3030 din ambii membri, ca să rămână xx într-o singură parte.

    Verifică-te

    Ce soluție are ecuația?
    Pentru x=10x = 10 GB suplimentari, costul este același la ambele oferte.

    Verifică-te

    Cât este acest cost comun?

  2. 2. Interpretarea geometrică

    −22468101214161820102030405060708090100110120Oxy
    ff (Matei)
    gg (Raisa)
    Q(10,70)Q(10, 70)

    Pe OxOx: GB suplimentari; pe OyOy: lei. Cele două drepte se întâlnesc în Q(10,70)Q(10, 70).

    Graficul Raisei pornește mai jos (30<5030 < 50), dar urcă mai repede (44 lei pe GB față de 22). Cele două drepte se întâlnesc în Q(10,70)Q(10, 70); abscisa lui QQ este soluția x=10x = 10 găsită algebric.
Răspuns
x=10x = 10. Geometric, graficele lui ff și gg se intersectează în Q(10,70)Q(10, 70). În context: la 1010 GB suplimentari ambele oferte costă exact 7070 de lei.

c)Ce ofertă este mai avantajoasă la peste 1515 GB suplimentari?

Compară f(x)f(x) și g(x)g(x) pentru un xx mai mare decât 1515. Apoi uită-te care grafic este mai jos în dreapta punctului de intersecție.

  1. 1. Un exemplu concret

    Mai avantajoasă este oferta cu costul mai mic. Iei, de exemplu, x=16x = 16 GB suplimentari și calculezi ambele costuri.

    Verifică-te

    Ce ofertă este mai ieftină la 1616 GB suplimentari?

  2. 2. Pentru orice consum de peste 15 GB

    Un singur exemplu nu ajunge; comparăm în general, prin diferență:

    g(x)−f(x)=(4x+30)−(2x+50)=2x−20.\begin{aligned} g(x) - f(x) &= (4x + 30) - (2x + 50) \\ &= 2x - 20. \end{aligned}

    Pentru x>15x > 15 avem 2x>302x > 30, deci 2x−20>10>02x - 20 > 10 > 0: oferta Raisei costă mereu cu mai mult de 1010 lei în plus.

    −22468101214161820102030405060708090100110120Oxy
    ff (Matei)
    gg (Raisa)

    În dreapta lui x=15x = 15 (marcat pe OxOx), graficul lui ff este sub cel al lui gg: Matei plătește mai puțin.

    Pe desen: în dreapta punctului de intersecție Q(10,70)Q(10, 70), dreapta Raisei urcă mai repede și rămâne deasupra celei a lui Matei. Toată zona x>15x > 15 este în dreapta lui QQ.
Răspuns
Oferta lui Matei: pentru x>15x > 15, g(x)−f(x)=2x−20>0g(x) - f(x) = 2x - 20 > 0, deci f(x)<g(x)f(x) < g(x).