Manual · pagina 69

Exercițiul 18 · O relație între $f(x)$ și $f(2 - x)$

Există funcții

{f: \mathbb R \to \mathbb R}

cu proprietatea că

{f(x) + f(2 - x) = 2x}

, pentru orice

x \in \mathbb R

?

Există funcții ${f: \mathbb R \to \mathbb R}$ cu proprietatea că ${f(x) + f(2 - x) = 2x}$ , pentru orice $x \in \mathbb R$ ?

Dă-i lui

x

două valori care se „schimbă între ele” prin

{x \mapsto 2 - x}

, de exemplu

0

și

2

. Ce obții în stânga, de fiecare dată?

1. Ce se cere și o primă încercare
Nu se cere o formulă, ci un răspuns da/nu: poate o funcție să verifice relația pentru toate numerele reale $x$ ? Dacă există una, relația e adevărată și pentru valori alese de noi. Le alegem pe cele care fac calculul simplu.
Pentru ${x = 0}$ : ${2 - 0 = 2}$ , deci relația devine
$f(0) + f(2) = 2 \cdot 0 = 0$
Verifică-te
Ce relație obții pentru ${x = 2}$ ?
2. Aceeași sumă, două valori
Pune cele două relații una sub alta. În stânga apare aceeași sumă, $f(0) + f(2)$ , doar cu termenii în altă ordine:
$\begin{aligned} x = 0&: \quad f(0) + f(2) = 0 \\ x = 2&: \quad f(2) + f(0) = 4 \end{aligned}$
Verifică-te
Ce rezultă din cele două relații?
Am găsit o contradicție: presupunerea că o asemenea funcție există duce la ${0 = 4}$ (reducere la absurd, din capitolul 1). Răspunsul este nu.
3. De ce: înlocuim $x$ cu $2 - x$
Perechea $0$ și $2$ nu este un noroc. Înlocuiește în relație $x$ cu $2 - x$ . Atunci $2 - x$ devine ${2 - (2 - x) = x}$ , deci:
$\begin{aligned} f(2 - x) + f(x) &= 2(2 - x) \\ &= 4 - 2x \end{aligned}$
Membrul stâng este același ca în relația inițială. Dacă $f$ ar exista, ar trebui ca ${2x = 4 - 2x}$ pentru orice $x$ , adică dreptele ${y = 2x}$ și ${y = 4 - 2x}$ să coincidă.
Verifică-te
Pentru ce valori ale lui $x$ este ${2x = 4 - 2x}$ ?
Relația ar cere ca cele două drepte să coincidă. Ele au în comun un singur punct, cel cu ${x = 1}$ .

Răspuns

Nu există. Pentru

{x = 0}

relația dă

{f(0) + f(2) = 0}

, iar pentru

{x = 2}

dă

{f(2) + f(0) = 4}

, contradicție.