Manual · pagina 69

Exercițiul 19 · O dreaptă care nu coboară sub $Ox$

Se consideră funcția

{f: \mathbb R \to \mathbb R}

astfel încât

{f(x) \ge 0}

, pentru orice

x \in \mathbb R

. Știind că graficul lui

f

trece prin

A(2, 0)

și este o dreaptă, determină expresia analitică a funcției

f

Se consideră funcția ${f: \mathbb R \to \mathbb R}$ astfel încât ${f(x) \ge 0}$ , pentru orice $x \in \mathbb R$ . Știind că graficul lui $f$ trece prin $A(2, 0)$ și este o dreaptă, determină expresia analitică a funcției $f$ .

Scrie

{f(x) = ax + b}

și folosește punctul

A

. Apoi întreabă-te: o dreaptă înclinată care trece prin

A

poate rămâne peste

Ox

de ambele părți ale lui

A

1. Forma legii și punctul $A$
Dreapta ca grafic (manual, p. 66)
Legea ${f(x) = ax + b}$ are ca grafic o dreaptă. Invers, o dreaptă care nu este verticală este graficul unei astfel de legi (din gimnaziu).
Graficul unei funcții definite pe $\mathbb R$ nu poate fi o dreaptă verticală: o verticală are un singur $x$ cu o infinitate de valori. Deci ${f(x) = ax + b}$ , cu $a, b$ de aflat.
Punctul $A(2, 0)$ este pe grafic, deci ${f(2) = 0}$ .
Verifică-te
Ce relație între $a$ și $b$ dă ${f(2) = 0}$ ?
2. Condiția ${f(x) \ge 0}$ alege panta
Semnul funcției (manual, p. 64)
${f(x) \ge 0}$ pentru orice $x$ înseamnă că graficul nu coboară nicăieri sub axa $Ox$ .
Așadar ${f(x) = a(x - 2)}$ . Ia pe rând cele trei posibilități pentru $a$ .
Verifică-te
Dacă ${a < 0}$ , de exemplu ${f(x) = -(x - 2) = 2 - x}$ , unde ajunge graficul sub $Ox$ ?
Prin $A(2, 0)$ : dreapta cu ${a = 1}$ coboară sub $Ox$ pentru ${x < 2}$ , cea cu ${a = -1}$ pentru ${x > 2}$ . Doar ${a = 0}$ nu coboară.
La fel, dacă ${a > 0}$ , graficul este sub $Ox$ pentru ${x < 2}$ : de exemplu ${f(0) = -2a < 0}$ . Rămâne doar ${a = 0}$ .
3. Funcția găsită și verificarea
Cu ${a = 0}$ avem ${b = -2a = 0}$ , deci ${f(x) = 0}$ pentru orice $x \in \mathbb R$ . Graficul ei este chiar axa $Ox$ .
Verificare: ${f(x) = 0 \ge 0}$ pentru orice $x$ , iar ${f(2) = 0}$ , deci graficul trece prin $A(2, 0)$ . Ambele condiții sunt îndeplinite.

Răspuns

{f(x) = 0}

, pentru orice

x \in \mathbb R

(funcția nulă; graficul ei este axa

Ox