Manual · pagina 69

Exercițiul 21 · Ecuația $|x - 1| = 2$ , pe grafic

Se consideră funcțiile

{f, g: \mathbb R \to \mathbb R}

{f(x) = |x - 1|}

și

{g(x) = 2}

. Rezolvă ecuația

{f(x) = g(x)}

și interpretează geometric soluțiile.

Se consideră funcțiile ${f, g: \mathbb R \to \mathbb R}$ , ${f(x) = |x - 1|}$ și ${g(x) = 2}$ . Rezolvă ecuația ${f(x) = g(x)}$ și interpretează geometric soluțiile.

Graficul lui

g

este o dreaptă orizontală. Desenează graficul lui

|x - 1|

: este format din două semidrepte. Câte puncte la înălțimea

2

are?

1. Graficul lui ${f(x) = |x - 1|}$
Ecuația ${f(x) = m}$ (manual, p. 64)
Soluțiile ecuației ${f(x) = m}$ sunt abscisele punctelor în care graficul lui $f$ intersectează dreapta orizontală ${y = m}$ .
Aici ${g(x) = 2}$ este constantă, deci graficul ei este dreapta orizontală ${y = 2}$ . Ca să citim soluțiile pe desen, avem nevoie de graficul lui $f$ .
Modulul (din gimnaziu)
${|t| = t}$ dacă ${t \ge 0}$ și ${|t| = -t}$ dacă ${t < 0}$ . Modulul nu este niciodată negativ.
Cu ${t = x - 1}$ , legea se scrie pe ramuri: ${f(x) = x - 1}$ pentru ${x \ge 1}$ și ${f(x) = 1 - x}$ pentru ${x < 1}$ . Fiecare ramură are ca grafic o semidreaptă.
Verifică-te
Care este punctul cel mai de jos al graficului lui $f$ ?
2. Rezolvarea algebrică
Un număr are modulul $2$ exact când este $2$ sau $-2$ . Deci ${|x - 1| = 2}$ se desface în două ecuații de gradul întâi:
$x - 1 = 2 \quad \text{sau} \quad x - 1 = -2$
Verifică-te
Ce soluție dă ${x - 1 = -2}$ ?
Prima ecuație dă ${x = 3}$ . Verificare: ${f(3) = |2| = 2}$ . Soluțiile sunt ${x = -1}$ și ${x = 3}$ .
3. Interpretarea geometrică
Graficul lui $f$ este un V cu vârful în $(1, 0)$ . Dreapta ${y = 2}$ , graficul lui $g$ , îl taie în două puncte.
Soluțiile $-1$ și $3$ sunt abscisele punctelor $(-1, 2)$ și $(3, 2)$ , în care graficul lui $f$ intersectează dreapta orizontală ${y = 2}$ . Sunt două, pentru că dreapta trece deasupra vârfului și taie fiecare ramură a lui V o dată. Punctele sunt simetrice față de dreapta ${x = 1}$ : amândouă sunt la distanța $2$ de $1$ .
Verifică-te
Pe același desen: câte soluții ar avea ecuația ${|x - 1| = -1}$ ?

Răspuns

x \in \{-1, 3\}

: abscisele celor două puncte,

(-1, 2)

și

(3, 2)

, în care graficul lui

f

intersectează dreapta

{y = 2}

Exercițiul 21 · Ecuația ∣x−1∣=2|x - 1| = 2∣x−1∣=2, pe grafic

Se consideră funcțiile f,g:R→R{f, g: \mathbb R \to \mathbb R}f,g:R→R, f(x)=∣x−1∣{f(x) = |x - 1|}f(x)=∣x−1∣ și g(x)=2{g(x) = 2}g(x)=2. Rezolvă ecuația f(x)=g(x){f(x) = g(x)}f(x)=g(x) și interpretează geometric soluțiile.

1. Graficul lui f(x)=∣x−1∣{f(x) = |x - 1|}f(x)=∣x−1∣ ✓

2. Rezolvarea algebrică ✓

3. Interpretarea geometrică ✓

Exercițiul 21 · Ecuația $|x - 1| = 2$ , pe grafic

Se consideră funcțiile ${f, g: \mathbb R \to \mathbb R}$ , ${f(x) = |x - 1|}$ și ${g(x) = 2}$ . Rezolvă ecuația ${f(x) = g(x)}$ și interpretează geometric soluțiile.

1. Graficul lui ${f(x) = |x - 1|}$

2. Rezolvarea algebrică

3. Interpretarea geometrică