MateClar
← Capitol

Manual · pagina 69

Exercițiul 22 · Ecuație cu două module

Determină numărul de soluții reale ale ecuației f(x)=0{f(x) = 0}, știind că funcția f:R→R{f: \mathbb R \to \mathbb R} este definită prin f(x)=∣∣x−1∣−2∣−3{f(x) = \big||x - 1| - 2\big| - 3}.

Determină numărul de soluții reale ale ecuației f(x)=0{f(x) = 0}, știind că funcția f:R→R{f: \mathbb R \to \mathbb R} este definită prin f(x)=∣∣x−1∣−2∣−3{f(x) = \big||x - 1| - 2\big| - 3}.

Mută −3-3 în dreapta și desfă modulul exterior: ∣t∣=3{|t| = 3} înseamnă t=3{t = 3} sau t=−3{t = -3}. Unul dintre cazuri nu dă nimic.

  1. 1. Desfacem modulul din exterior

    Ecuația f(x)=0{f(x) = 0} se scrie ∣∣x−1∣−2∣=3{\big||x - 1| - 2\big| = 3}. Lucrăm din exterior spre interior: notăm t=∣x−1∣−2{t = |x - 1| - 2}, deci ∣t∣=3{|t| = 3}.

    Verifică-te

    Ce valori poate avea tt, dacă ∣t∣=3{|t| = 3}?

  2. 2. Cele două cazuri

    Din ∣x−1∣−2=t{|x - 1| - 2 = t} rezultă ∣x−1∣=t+2{|x - 1| = t + 2}.

    Cazul t=3{t = 3}: ∣x−1∣=5{|x - 1| = 5}, deci x−1=5{x - 1 = 5} sau x−1=−5{x - 1 = -5}, adică x=6{x = 6} sau x=−4{x = -4}.

    Cazul t=−3{t = -3}: ∣x−1∣=−1{|x - 1| = -1}.

    Verifică-te

    Câte soluții are ecuația ∣x−1∣=−1{|x - 1| = -1}?
    Rămân soluțiile x=−4{x = -4} și x=6{x = 6}. Verificare:
    f(6)=∣∣5∣−2∣−3=0,f(−4)=∣∣−5∣−2∣−3=0\begin{aligned} f(6) &= \big||5| - 2\big| - 3 = 0, \\ f(-4) &= \big||-5| - 2\big| - 3 = 0 \end{aligned}

  3. 3. Ce arată graficul

    Câteva valori ale lui ff ne ajută să desenăm graficul. Între punctele din tabel, fiecare ramură este un segment de dreaptă (modulele se desfac pe intervale):
    xxf(x)f(x)
    −4-400
    −1-1−3-3
    11−1-1
    33−3-3
    6600
    −5−4−3−2−11234567−4−3−2−1123Oxy
    ff
    (−4,0)(-4, 0)
    (6,0)(6, 0)

    Graficul are forma literei W. Între −4-4 și 66 el rămâne sub axa OxOx (cel mai sus ajunge în (1,−1)(1, -1)), deci intersectează OxOx doar în două puncte.

    Graficul intersectează axa OxOx exact în (−4,0)(-4, 0) și (6,0)(6, 0). Cazul t=−3{t = -3} nu dă puncte: cea mai mică valoare a lui t=∣x−1∣−2{t = |x - 1| - 2} este −2-2, în x=1{x = 1}, unde graficul ajunge doar până la f(1)=−1{f(1) = -1}, sub axă.
Răspuns
Ecuația f(x)=0{f(x) = 0} are două soluții reale: x=−4{x = -4} și x=6{x = 6}.