MateClar
← Capitol

Manual · pagina 69

Exercițiul 23 · O ecuație funcțională pe Q\mathbb Q

Determină toate funcțiile f:Q→Q{f: \mathbb Q \to \mathbb Q} care verifică f(x+y)=f(x)+f(y){f(x + y) = f(x) + f(y)} pentru orice x,y∈Qx, y \in \mathbb Q, pentru care f(1)=−4{f(1) = -4}.

Determină toate funcțiile f:Q→Q{f: \mathbb Q \to \mathbb Q} care verifică f(x+y)=f(x)+f(y){f(x + y) = f(x) + f(y)} pentru orice x,y∈Qx, y \in \mathbb Q, pentru care f(1)=−4{f(1) = -4}.

Află pe rând f(0)f(0), apoi f(n)f(n) pentru nn natural (prin inducție), apoi f(−n)f(-n), apoi f(pq)f\left(\frac pq\right). La fiecare pas alegi xx și yy convenabil.

  1. 1. Planul și valoarea f(0)f(0)

    Nu știm de la început cum arată legea. Relația este adevărată pentru orice x,y∈Qx, y \in \mathbb Q, deci putem alege noi valori pentru xx și yy și afla, pas cu pas, ff în tot mai multe puncte: în 00, în numerele naturale, în cele întregi, apoi în toate fracțiile.

    Începem cu x=y=0{x = y = 0}:

    f(0+0)=f(0)+f(0)f(0 + 0) = f(0) + f(0)
    adică f(0)=2f(0){f(0) = 2f(0)}.

    Verifică-te

    Cât este f(0)f(0)?

  2. 2. Numerele naturale, prin inducție

    Cu y=1{y = 1}, relația spune cum trecem de la un număr la următorul: f(x+1)=f(x)+f(1)=f(x)−4{f(x + 1) = f(x) + f(1) = f(x) - 4}. Fiecare pas la dreapta cu 11 scade valoarea cu 44. Pornind din f(0)=0{f(0) = 0}: f(1)=−4{f(1) = -4}, f(2)=−8{f(2) = -8}, …

    Verifică-te

    Cât este f(3)f(3)?

    Demonstrăm P(n)P(n): f(n)=−4n{f(n) = -4n}, pentru orice n∈Nn \in \mathbb N.

    Verificare: P(0)P(0) este f(0)=0{f(0) = 0}, adevărat după pasul 1.

    Pasul de inducție: presupunem f(n)=−4n{f(n) = -4n}. Atunci

    f(n+1)=f(n)+f(1)=−4n−4=−4(n+1),\begin{aligned} f(n + 1) &= f(n) + f(1) \\ &= -4n - 4 \\ &= -4(n + 1), \end{aligned}
    adică P(n+1)P(n + 1). Deci f(n)=−4n{f(n) = -4n} pentru orice n∈Nn \in \mathbb N.

  3. 3. Numerele întregi negative

    Pentru valorile negative alegem xx și yy cu suma 00. De exemplu, x=5{x = 5} și y=−5{y = -5} dau f(5)+f(−5)=f(0){f(5) + f(-5) = f(0)}, iar f(5)f(5) și f(0)f(0) le știm.

    Verifică-te

    Din f(5)+f(−5)=f(0){f(5) + f(-5) = f(0)}, cât este f(−5)f(-5)?
    La fel, pentru orice n∈Nn \in \mathbb N, cu x=n{x = n} și y=−n{y = -n}:
    f(0)=f(n)+f(−n),f(−n)=−f(n)=4n\begin{aligned} f(0) &= f(n) + f(-n), \\ f(-n) &= -f(n) = 4n \end{aligned}
    Deci f(k)=−4k{f(k) = -4k} pentru orice număr întreg kk, pozitiv, negativ sau 00.

  4. 4. Fracțiile pq\frac pq

    Orice număr rațional se scrie r=pq{r = \frac pq}, cu p∈Zp \in \mathbb Z și q∈N∗q \in \mathbb N^*. Ideea: adunând rr de qq ori obținem întregul pp, a cărui valoare o știm.

    Aceeași inducție ca la pasul 2, cu rr în locul lui 11, arată că

    f(nr)=nf(r),∀n∈N.f(nr) = n f(r), \quad \forall n \in \mathbb N.

    Într-adevăr, f(0⋅r)=f(0)=0{f(0 \cdot r) = f(0) = 0}, iar pasul de inducție este

    f((n+1)r)=f(nr+r)=f(nr)+f(r).\begin{aligned} f((n + 1)r) &= f(nr + r) \\ &= f(nr) + f(r). \end{aligned}

    Verifică-te

    Primul caz: din f(12)+f(12)=f(1)f\left(\frac12\right) + f\left(\frac12\right) = f(1), cât este f(12)f\left(\frac12\right)?
    În general, pentru n=q{n = q}, cum q⋅pq=p{q \cdot \frac pq = p}:
    f(p)=q f(pq),decif(pq)=f(p)q=−4pq\begin{aligned} f(p) &= q\, f\left(\frac pq\right), \\[4pt] \text{deci}\quad f\left(\frac pq\right) &= \frac{f(p)}q \\[4pt] &= \frac{-4p}q \end{aligned}
    Așadar, pentru orice x∈Qx \in \mathbb Q, f(x)=−4x{f(x) = -4x}. Am arătat că dacă o astfel de funcție există, ea nu poate fi alta.

  5. 5. Verificarea

    Rămâne să verificăm că f(x)=−4x{f(x) = -4x} chiar are proprietățile cerute:

    duce numere raționale în numere raționale, deci f:Q→Q{f: \mathbb Q \to \mathbb Q};

    pentru orice x,y∈Qx, y \in \mathbb Q,

    f(x+y)=−4(x+y)=−4x−4y=f(x)+f(y);\begin{aligned} f(x + y) &= -4(x + y) \\ &= -4x - 4y \\ &= f(x) + f(y); \end{aligned}
    în sfârșit, f(1)=−4{f(1) = -4}. Deci există exact o funcție cu proprietățile din enunț.
Răspuns
O singură funcție: f:Q→Q{f: \mathbb Q \to \mathbb Q}, f(x)=−4x{f(x) = -4x}.