Manual · pagina 69

Exercițiul 24 · Graficul care nu intersectează axa $Ox$

Se consideră funcția

{f: (0, \infty) \to \mathbb R}

{f(x) = 2x - m + 1}

. Determină

m \in \mathbb R

astfel încât graficul funcției să nu intersecteze axa

Ox

Se consideră funcția ${f: (0, \infty) \to \mathbb R}$ , ${f(x) = 2x - m + 1}$ . Determină $m \in \mathbb R$ astfel încât graficul funcției să nu intersecteze axa $Ox$ .

Rezolvă

{f(x) = 0}

ca ecuație în

x

. Graficul intersectează

Ox

doar dacă soluția este în domeniul

(0, \infty)

. Atenție la capătul

0

1. Unde ar tăia graficul axa $Ox$
Intersecția cu axa Ox (manual, p. 63)
Punctele de intersecție cu $Ox$ sunt $(x_0, 0)$ , unde $x_0$ este o soluție a ecuației ${f(x) = 0}$ din domeniul funcției.
Graficul nu intersectează $Ox$ exact când ecuația ${f(x) = 0}$ nu are nicio soluție în $(0, \infty)$ . Rezolvăm ecuația, cu $m$ tratat ca un număr fixat:
$2x - m + 1 = 0$
Verifică-te
Ce soluție are ecuația, ca număr real?
2. Soluția trebuie să cadă în afara domeniului
Ecuația are mereu soluția reală ${x_0 = \frac{m - 1}2}$ . Graficul nu intersectează $Ox$ doar dacă acest număr nu aparține domeniului $(0, \infty)$ .
Verifică-te
Ce condiție trebuie să îndeplinească $x_0$ ?
Rezolvăm inecuația (din gimnaziu): ${\frac{m - 1}2 \le 0}$ , deci ${m - 1 \le 0}$ , adică ${m \le 1}$ .
3. Trei valori ale lui $m$ , pe desen
Graficele pornesc din cerculețe goale pe $Oy$ , fiindcă ${x = 0}$ nu este în domeniu. Pentru ${m = 3}$ graficul taie $Ox$ în $(1, 0)$ ; pentru ${m = 1}$ ar intersecta-o doar în origine, care lipsește.
Același rezultat se vede și din imagine. Din ${x > 0}$ rezultă ${2x - m + 1 > 1 - m}$ (din gimnaziu), deci toate valorile sunt mai mari decât $1 - m$ . Invers, orice ${y > 1 - m}$ se obține pentru ${x = \frac{y + m - 1}{2}}$ , care este ${> 0}$ . Deci ${\operatorname{Im} f = (1 - m, \infty)}$ .
Graficul evită axa $Ox$ exact când $0 \notin (1 - m, \infty)$ , adică ${1 - m \ge 0}$ , sau ${m \le 1}$ .

Răspuns

m \in (-\infty, 1]