Manual · pagina 69

Exercițiul 25 · Dificultatea unui nivel de joc

(Activitate pe grupe) Un dezvoltator de jocuri video modelează „dificultatea unui nivel de joc” printr-o funcție $f$ pentru care argumentul reprezintă timpul petrecut de jucător în acel nivel ( $x$ , în minute). Dificultatea este măsurată pe o scară de la $0$ la $100$ . Funcția este definită pe ramuri:

$f(x) = \begin{cases} 10x + 10, & 0 \le x \le 5 \\ -5x + 85, & x > 5 \end{cases}$

(prima ramură este „faza de învățare”, a doua „faza de oboseală”).

a) Determinați intersecția graficului funcției $f$ cu axa $Oy$ . Ce semnificație putem asocia lui $f(5)$ ?

b) Determinați intersecția cu $Ox$ , apoi stabiliți semnul funcției în „faza de oboseală” ( ${x > 5}$ ). Ce înseamnă, din punct de vedere al jocului, când ${f(x) < 0}$ ?

c) Dacă nivelul este considerat „perfect calibrat” când dificultatea este fixată la ${m = 40}$ , rezolvați ecuația ${f(x) = 40}$ , acordând atenție faptului că veți obține două soluții. Interpretați geometric cele două soluții ca intersecții cu dreapta ${y = 40}$ . Ce reprezintă cele două momente din joc?

d) Determinați valoarea maximă a funcției („dificultatea maximă”) și minutul în care este atinsă.

a)Determinați intersecția graficului funcției $f$ cu axa $Oy$ . Ce semnificație putem asocia lui $f(5)$ ?

Înainte de orice calcul, alege ramura: în ce interval se află

{x = 0}

? Dar

{x = 5}

? Fii atent la

{\le}

și

{>}

1. Intersecția cu $Oy$
Intersecția cu axa Oy (manual, p. 63)
Dacă $0$ este în domeniu, graficul intersectează axa $Oy$ în punctul $(0, f(0))$ .
Timpul nu este negativ, deci $f$ este definită pentru ${x \ge 0}$ , iar $0$ este în domeniu. La o funcție pe ramuri, întâi alegem ramura potrivită pentru $x$ , apoi calculăm.
Verifică-te
Ce ramură folosești pentru ${x = 0}$ și cât este $f(0)$ ?
Graficul intersectează $Oy$ în punctul $(0, 10)$ . În joc: când jucătorul intră în nivel, dificultatea este $10$ , adică nivelul începe ușor.
2. Valoarea $f(5)$
Numărul $5$ este exact la granița dintre ramuri. Prima ramură are ${x \le 5}$ (cu egal), a doua ${x > 5}$ (fără egal), deci pentru ${x = 5}$ folosim prima ramură.
Verifică-te
Cât este $f(5)$ ?
Interesant: și formula a doua ar da în $5$ tot ${-25 + 85 = 60}$ . Cele două ramuri se întâlnesc în același punct, $(5, 60)$ , deci graficul nu are „salt”.
3. Ce înseamnă ${f(5) = 60}$
Pe $Ox$ un pătrățel înseamnă $2$ minute, pe $Oy$ $10$ unități de dificultate. Graficul urcă până în $(5, 60)$ , apoi coboară.
Minutul $5$ este sfârșitul fazei de învățare: până atunci dificultatea crește, după aceea scade, pentru că jucătorul obosește. Deci ${f(5) = 60}$ este dificultatea la trecerea dintre cele două faze, cea mai mare dificultate a nivelului (vezi punctul d).

Răspuns

{G_f \cap Oy = \{(0, 10)\}}

: nivelul începe cu dificultatea

10

{f(5) = 60}

este dificultatea de la sfârșitul fazei de învățare, cea mai mare a nivelului.

b)Determinați intersecția cu $Ox$ , apoi stabiliți semnul funcției în „faza de oboseală” ( ${x > 5}$ ). Ce înseamnă, din punct de vedere al jocului, când ${f(x) < 0}$ ?

Rezolvă

{f(x) = 0}

pe fiecare ramură și păstrează doar soluțiile care cad în intervalul ramurii. Semnul îl citești apoi față de acel punct.

1. Intersecția cu $Ox$ , pe ramuri
Intersecția cu axa Ox (manual, p. 63)
Abscisele punctelor de intersecție cu $Ox$ sunt soluțiile ecuației ${f(x) = 0}$ din domeniu.
Rezolvăm ${f(x) = 0}$ separat pe fiecare ramură și păstrăm o soluție doar dacă se află în intervalul ramurii.
Prima ramură: ${10x + 10 = 0}$ dă ${x = -1}$ , dar $-1$ nu este în $[0, 5]$ . Se respinge. (Pe $[0, 5]$ avem chiar ${f(x) \ge 10 > 0}$ .)
A doua ramură: ${-5x + 85 = 0}$ .
Verifică-te
Ce dă a doua ramură?
Graficul intersectează axa $Ox$ într-un singur punct, $(17, 0)$ .
2. Semnul în faza de oboseală
Semnul funcției (manual, p. 64)
${f(x) > 0}$ unde graficul este deasupra axei $Ox$ , ${f(x) < 0}$ unde este sub ea. Dacă graficul nu are salturi (ca aici, unde ramurile se unesc în $(5, 60)$ ), semnul se poate schimba doar într-un punct de pe $Ox$ .
Pentru ${x > 5}$ , ${f(x) = -5x + 85}$ scade când $x$ crește și devine $0$ în ${x = 17}$ . Încercăm câte o valoare de fiecare parte a lui $17$ : ${f(10) = -50 + 85 = 35 > 0}$ .
Verifică-te
Ce semn are $f(20)$ ?
Pe $(5, 17)$ , colorat pe $Ox$ , graficul este deasupra axei; după $17$ coboară sub ea.
$x$ $f(x)$ pentru ${x > 5}$
${5 < x < 17}$ pozitivă $(+)$
${x = 17}$ $0$
${x > 17}$ negativă $(-)$
3. Ce înseamnă ${f(x) < 0}$ în joc
Dificultatea se măsoară pe o scară de la $0$ la $100$ , deci o valoare negativă nu are sens în joc: nu există „dificultate $-15$ ”.
Așadar, după minutul $17$ formula nu mai descrie jocul. Modelul este valabil doar cât ${f(x) \ge 0}$ , adică pentru ${0 \le x \le 17}$ . Minutul $17$ este sfârșitul matematic al modelului: dificultatea a scăzut la $0$ , iar de aici încolo dezvoltatorul ar trebui, de exemplu, să încheie nivelul.

$x$	$f(x)$ pentru ${x > 5}$
${5 < x < 17}$	pozitivă $(+)$
${x = 17}$	$0$
${x > 17}$	negativă $(-)$

Răspuns

Graficul intersectează $Ox$ în $(17, 0)$ . Pentru ${x > 5}$ : ${f(x) > 0}$ pe $(5, 17)$ , ${f(17) = 0}$ și ${f(x) < 0}$ pe $(17, \infty)$ .

${f(x) < 0}$ ar fi o dificultate sub $0$ , imposibilă pe scara jocului: după minutul $17$ modelul nu mai are sens.

c)Dacă nivelul este considerat „perfect calibrat” când dificultatea este fixată la ${m = 40}$ , rezolvați ecuația ${f(x) = 40}$ , acordând atenție faptului că veți obține două soluții. Interpretați geometric cele două soluții ca intersecții cu dreapta ${y = 40}$ . Ce reprezintă cele două momente din joc?

Pe fiecare ramură ecuația

{f(x) = 40}

este de gradul întâi. Rezolv-o pe fiecare și verifică dacă soluția cade în intervalul ramurii.

1. Faza de învățare, ${0 \le x \le 5}$
Ecuația ${f(x) = m}$ (manual, p. 64)
Soluțiile ecuației ${f(x) = m}$ sunt abscisele punctelor în care graficul lui $f$ intersectează dreapta orizontală ${y = m}$ . Câte soluții, atâtea puncte.
Funcția are două formule, deci rezolvăm ecuația pe fiecare ramură și păstrăm soluția doar dacă este în intervalul ramurii. Pe prima ramură:
$10x + 10 = 40$
Verifică-te
Ce soluție are ecuația pe prima ramură?
2. Faza de oboseală, ${x > 5}$
$-5x + 85 = 40$
Verifică-te
Ce soluție are ecuația pe a doua ramură?
Ecuația are deci două soluții, ${x = 3}$ și ${x = 9}$ , câte una pe fiecare ramură. Verificare: ${f(3) = 30 + 10 = 40}$ și ${f(9) = -45 + 85 = 40}$ .
3. Interpretarea geometrică și în joc
Dreapta ${y = 40}$ taie graficul de două ori: o dată când dificultatea urcă, o dată când coboară.
Soluțiile $3$ și $9$ sunt abscisele punctelor $(3, 40)$ și $(9, 40)$ , în care graficul lui $f$ intersectează dreapta orizontală ${y = 40}$ . Sunt două, pentru că graficul urcă până la $60$ și apoi coboară, deci trece de două ori prin înălțimea $40$ .
În joc: în minutul 3, încă în faza de învățare, dificultatea crește și ajunge la nivelul ideal $40$ . În minutul 9, în faza de oboseală, dificultatea scade și trece din nou prin $40$ . Acestea sunt cele două momente în care nivelul este perfect calibrat.

Răspuns

x \in \{3, 9\}

: punctele

(3, 40)

și

(9, 40)

de pe dreapta

{y = 40}

. Nivelul este perfect calibrat în minutul

3

(dificultatea crește) și în minutul

9

(dificultatea scade).

d)Determinați valoarea maximă a funcției („dificultatea maximă”) și minutul în care este atinsă.

Pe fiecare ramură, vezi dacă valorile cresc sau scad odată cu

x

. Cea mai mare valoare pe o ramură care crește este la capătul din dreapta.

1. Faza de învățare: valorile cresc
Căutăm cea mai mare valoare pe care o ia $f$ și pentru ce $x$ . Comparăm cele două ramuri.
Pe $[0, 5]$ , ${f(x) = 10x + 10}$ : când $x$ crește, $10x$ crește, deci și $f(x)$ crește. Graficul urcă de la stânga la dreapta.
Verifică-te
Care este cea mai mare valoare a lui $f$ pe $[0, 5]$ ?
2. Faza de oboseală: valorile scad
Pentru ${x > 5}$ , ${f(x) = -5x + 85}$ . Pornim de la ${x > 5}$ și construim, pas cu pas, expresia lui $f(x)$ (din gimnaziu). Întâi înmulțim cu $-5$ , iar sensul inegalității se schimbă:
$\begin{aligned} x &> 5 \\ -5x &< -25 \end{aligned}$
Verifică-te
Adună $85$ în ambii membri. Ce afli despre ${f(x) = -5x + 85}$ , pentru ${x > 5}$ ?
Valorile se apropie de $60$ când $x$ se apropie de $5$ , dar nu îl ating, pentru că ${x = 5}$ nu aparține acestei ramuri ( ${x > 5}$ , fără egal).
3. Concluzia, pe grafic
Tot graficul este sub dreapta ${y = 60}$ și o atinge într-un singur punct, $(5, 60)$ , vârful graficului.
Pe ambele ramuri ${f(x) \le 60}$ , iar egalitatea are loc doar în ${x = 5}$ . Deci dificultatea maximă este $60$ , atinsă în minutul $5$ , adică exact când se termină faza de învățare și începe oboseala.

Răspuns

Valoarea maximă este

60

, atinsă în minutul

5

{f(5) = 60}

și

{f(x) \le 60}

pentru orice

{x \ge 0}

Exercițiul 25 · Dificultatea unui nivel de joc

a)Determinați intersecția graficului funcției fff cu axa OyOyOy. Ce semnificație putem asocia lui f(5)f(5)f(5)?

1. Intersecția cu OyOyOy ✓

2. Valoarea f(5)f(5)f(5) ✓

3. Ce înseamnă f(5)=60{f(5) = 60}f(5)=60 ✓

b)Determinați intersecția cu OxOxOx, apoi stabiliți semnul funcției în „faza de oboseală” (x>5{x > 5}x>5). Ce înseamnă, din punct de vedere al jocului, când f(x)<0{f(x) < 0}f(x)<0?

1. Intersecția cu OxOxOx, pe ramuri ✓

2. Semnul în faza de oboseală ✓

3. Ce înseamnă f(x)<0{f(x) < 0}f(x)<0 în joc ✓

1. Faza de învățare, 0≤x≤5{0 \le x \le 5}0≤x≤5 ✓

2. Faza de oboseală, x>5{x > 5}x>5 ✓

3. Interpretarea geometrică și în joc ✓

d)Determinați valoarea maximă a funcției („dificultatea maximă”) și minutul în care este atinsă.

1. Faza de învățare: valorile cresc ✓

2. Faza de oboseală: valorile scad ✓

3. Concluzia, pe grafic ✓

a)Determinați intersecția graficului funcției $f$ cu axa $Oy$ . Ce semnificație putem asocia lui $f(5)$ ?

1. Intersecția cu $Oy$

2. Valoarea $f(5)$

3. Ce înseamnă ${f(5) = 60}$

b)Determinați intersecția cu $Ox$ , apoi stabiliți semnul funcției în „faza de oboseală” ( ${x > 5}$ ). Ce înseamnă, din punct de vedere al jocului, când ${f(x) < 0}$ ?

1. Intersecția cu $Ox$ , pe ramuri

2. Semnul în faza de oboseală

3. Ce înseamnă ${f(x) < 0}$ în joc

1. Faza de învățare, ${0 \le x \le 5}$

2. Faza de oboseală, ${x > 5}$

3. Interpretarea geometrică și în joc

1. Faza de învățare: valorile cresc

2. Faza de oboseală: valorile scad

3. Concluzia, pe grafic