MateClar
← Capitol

Manual · pagina 67

Exercițiul 7 · Același punct pe axa Oy

(Activitate în pereche) Determinați numerele reale aa și bb știind că graficul funcției f:R→Rf: \mathbb R \to \mathbb R, f(x)=ax−12f(x) = ax - 12 se intersectează cu axa OyOy în același punct în care o intersectează și funcția g(x)=3x+bg(x) = 3x + b. Ce tip de raționament a funcționat în acest caz: algebric sau geometric? Efectuați proba rezultatului obținut pe baza interpretării geometrice. Modelați situația-problemă și cu ajutorul unei aplicații digitale. Comparați rezolvarea voastră cu rezolvarea dată de un asistent digital IA.

Determinați numerele reale aa și bb știind că graficul funcției f:R→Rf: \mathbb R \to \mathbb R, f(x)=ax−12f(x) = ax - 12 se intersectează cu axa OyOy în același punct în care o intersectează și graficul funcției g(x)=3x+bg(x) = 3x + b. Ce tip de raționament a funcționat: algebric sau geometric? Faceți proba pe baza interpretării geometrice și comparați rezolvarea cu cea a unui asistent digital IA.

Pe axa OyOy abscisa este 00. Calculează punctul de pe OyOy al fiecărui grafic și uită-te ce rămâne din aa după ce pui x=0x = 0.

  1. 1. Unde taie fiecare grafic axa Oy

    Verifică-te

    În ce punct taie graficul lui f(x)=ax−12f(x) = ax - 12 axa OyOy?
    La fel, graficul lui gg taie OyOy în (0,g(0))=(0,3⋅0+b)=(0,b)(0, g(0)) = (0, 3 \cdot 0 + b) = (0, b).

  2. 2. Condiția „același punct”

    Punctele (0,−12)(0, -12) și (0,b)(0, b) coincid exact când au aceeași ordonată, deci b=−12b = -12.
    Ce condiție a rămas pentru aa? Gândește-te la ce s-a întâmplat cu aa când ai calculat f(0)f(0).

    Verifică-te

    Ce valori poate lua aa?

  3. 3. Proba geometrică și tipul de raționament

    Proba: desenezi g(x)=3x−12g(x) = 3x - 12 și câteva funcții ff, cu diferite valori ale lui aa. Toate dreptele trec prin același punct P(0,−12)P(0, -12) de pe OyOy:
    −4−3−2−1123456−16−14−12−10−8−6−4−224Oxy
    gg
    a=1a = 1
    a=−2a = -2
    PP

    Dreptele y=ax−12y = ax - 12 formează un „evantai” prin P(0,−12)P(0, -12), iar graficul lui g(x)=3x−12g(x) = 3x - 12 trece și el prin PP. Pentru a=3a = 3, graficul lui ff coincide cu cel al lui gg.

    Ce tip de raționament a funcționat? Amândouă, pe rând. Interpretarea geometrică („punctul de pe OyOy are abscisa 00”) a dat ideea, iar un calcul algebric, f(0)=g(0)f(0) = g(0), a dat răspunsul. Desenul face și proba: oricum ai alege aa, dreapta trece prin PP.

    Aplicația digitală (de exemplu, un program de grafice cu un glisor pentru aa): când muți glisorul, dreapta lui ff se rotește în jurul lui PP, iar punctul de pe OyOy nu se mișcă. Desenul de mai sus arată trei poziții.

    Comparația cu un asistent IA: verifică dacă răspunsul lui spune ceva despre aa. Răspunsul „a=3a = 3, b=−12b = -12” este incomplet: aa poate fi orice număr real.

Răspuns
b=−12b = -12 și a∈Ra \in \mathbb R (orice număr real). Toate graficele trec prin punctul (0,−12)(0, -12).