Manual · pagina 88

Exercițiul 1 · Funcție sau nu, injectivă sau nu

Stabilește care dintre următoarele relații reprezintă funcții și care dintre acestea sunt injective.

Manualul desenează trei relații, una lângă alta. Aici le găsești pe rând, la punctele a), b), c), în ordinea din manual, de la stânga la dreapta. În toate trei, elementele de plecare sunt $A$ , $G$ , $B$ , iar cele de sosire $D$ , $H$ , $I$ , $E$ ; notăm $X = \{A, G, B\}$ și $Y = \{D, H, I, E\}$ .

a)Prima relație (stânga). Este funcție? Dacă da, este injectivă?

Prima relație din manual.

Întâi uită-te la săgețile care pleacă din fiecare element al lui

X

. Abia apoi la săgețile care ajung în

Y

1. Două întrebări, în ordine
Problema pune două întrebări, iar a doua are sens doar dacă răspunsul la prima este „da”: injectivitatea este o proprietate a funcțiilor. Deci verificăm întâi dacă relația este funcție.
Funcție (manual, p. 56–57)
O relație de la $X$ la $Y$ este funcție dacă fiecărui element din $X$ îi asociază un singur element din $Y$ .
Pe o diagramă cu săgeți: din fiecare element al lui $X$ pleacă exact o săgeată. Ce se întâmplă în $Y$ nu contează aici.
2. Este funcție?
Parcurge pe rând $A$ , $G$ , $B$ și numără săgețile care pleacă din fiecare.
Verifică-te
Este prima relație o funcție?
3. Este injectivă?
Funcție injectivă (manual, p. 85)
$f : X \to Y$ este injectivă dacă elemente diferite au imagini diferite: $x_1 \ne x_2 \Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2)$ .
Pe diagramă: în niciun element al lui $Y$ nu ajung două săgeți.
Pentru „nu este injectivă” ajunge un singur exemplu: două elemente diferite din $X$ cu aceeași imagine.
Verifică-te
Care două elemente diferite ale lui $X$ au aceeași imagine?
4. Concluzia
Relația este funcție, dar ${f(A) = f(B)}$ cu ${A \ne B}$ , deci funcția nu este injectivă.

Răspuns

Este funcție, dar nu este injectivă:

{f(A) = f(B) = I}

, cu

{A \ne B}

b)A doua relație (la mijloc). Este funcție? Dacă da, este injectivă?

A doua relație din manual.

Numără săgețile care pleacă din fiecare element al lui

X

, nu pe cele care ajung în

Y

1. Întâi, este funcție?
Funcție (manual, p. 56–57)
O relație de la $X$ la $Y$ este funcție dacă fiecărui element din $X$ îi asociază un singur element din $Y$ .
Manualul precizează (p. 57): o corespondență nu este funcție dacă un element de plecare are două sau mai multe imagini, sau nu are niciuna.
Ne uităm deci la fiecare dintre $A$ , $G$ , $B$ : câte săgeți pleacă din el?
Verifică-te
Este a doua relație o funcție?
2. Și injectivitatea?
Injectivitatea (manual, p. 85) se definește doar pentru funcții: „ $f : A \to B$ este injectivă dacă …”. Cum relația nu este funcție, întrebarea „este injectivă?” nu se mai pune.
Observă că problema nu este în $Y$ : acolo nu ajung două săgeți în același element. Defectul este la plecare, în $G$ .

Răspuns

Nu este funcție: elementul

G

are două imagini,

H

și

E

. Deci nici nu are sens să întrebăm dacă este injectivă.

c)A treia relație (dreapta). Este funcție? Dacă da, este injectivă?

A treia relație din manual.

Două verificări: câte săgeți pleacă din fiecare element al lui

X

, apoi câte ajung în fiecare element al lui

Y

1. Este funcție?
Funcție (manual, p. 56–57)
O relație de la $X$ la $Y$ este funcție dacă fiecărui element din $X$ îi asociază un singur element din $Y$ : din fiecare element de plecare iese exact o săgeată.
Din fiecare dintre $A$ , $G$ , $B$ pleacă exact o săgeată, deci relația este o funcție; o notăm $f$ .
2. Este injectivă?
Funcție injectivă (manual, p. 85)
$f : X \to Y$ este injectivă dacă $x_1 \ne x_2 \Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2)$ : elemente diferite au imagini diferite. Pe diagramă, în niciun element al lui $Y$ nu ajung două săgeți.
Scrie imaginile celor trei elemente și compară-le.
Verifică-te
Este funcția $f$ injectivă?
3. Concluzia
Relația este funcție, iar trei elemente diferite au trei imagini diferite. Deci $f$ este injectivă. Elementul $H$ nu este imaginea niciunui element, dar asta nu împiedică injectivitatea.

Răspuns

Este funcție injectivă:

{f(A) = D}

{f(G) = E}

{f(B) = I}

sunt diferite.

Exercițiul 1 · Funcție sau nu, injectivă sau nu

a)Prima relație (stânga). Este funcție? Dacă da, este injectivă?

1. Două întrebări, în ordine ✓

2. Este funcție? ✓

3. Este injectivă? ✓

4. Concluzia ✓

b)A doua relație (la mijloc). Este funcție? Dacă da, este injectivă?

1. Întâi, este funcție? ✓

2. Și injectivitatea? ✓

c)A treia relație (dreapta). Este funcție? Dacă da, este injectivă?

1. Este funcție? ✓

2. Este injectivă? ✓

3. Concluzia ✓

1. Două întrebări, în ordine

2. Este funcție?

3. Este injectivă?

4. Concluzia

1. Întâi, este funcție?

2. Și injectivitatea?

1. Este funcție?

2. Este injectivă?

3. Concluzia