MateClar
← Capitol

Manual · pagina 89

Exercițiul 11 · O funcție-fracție injectivă

Se consideră funcția f:R∖{1}→Rf : \mathbb R \setminus \{1\} \to \mathbb R, f(x)=2x+1x−1f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}. Studiază injectivitatea funcției.

Se consideră funcția f:R∖{1}→Rf : \mathbb R \setminus \{1\} \to \mathbb R, f(x)=2x+1x−1f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}. Studiază injectivitatea funcției.

Presupune f(x1)=f(x2)f(x_1) = f(x_2), înmulțește în cruce (numitorii nu sunt 00) și vezi ce rămâne după reducere.

  1. 1. Metoda

    Ca în exemplul rezolvat 3 de la p. 86, pornim de la x1,x2∈R∖{1}x_1, x_2 \in \mathbb R \setminus \{1\} cu f(x1)=f(x2)f(x_1) = f(x_2). Numitorii x1−1x_1 - 1 și x2−1x_2 - 1 sunt nenuli, deci putem înmulți în cruce:
    2x1+1x1−1=2x2+1x2−1(2x1+1)(x2−1)=(2x2+1)(x1−1)\begin{aligned} &\frac{2x_1 + 1}{x_1 - 1} = \frac{2x_2 + 1}{x_2 - 1} \\[6pt] &(2x_1 + 1)(x_2 - 1) \\ &\quad = (2x_2 + 1)(x_1 - 1) \end{aligned}

  2. 2. Desfacem parantezele

    Verifică-te

    Cât este (2x1+1)(x2−1)(2x_1 + 1)(x_2 - 1)?
    Membrul drept are aceeași formă, cu x1x_1 și x2x_2 schimbați între ei: 2x1x2−2x2+x1−12x_1x_2 - 2x_2 + x_1 - 1.
    2x1x2−2x1+x2−1=2x1x2−2x2+x1−1\begin{aligned} &2x_1x_2 - 2x_1 + x_2 - 1 \\ &\quad = 2x_1x_2 - 2x_2 + x_1 - 1 \end{aligned}

  3. 3. Reducem

    Termenii 2x1x22x_1x_2 și −1-1 apar în ambii membri și se reduc. Trecem apoi termenii cu x1x_1 în stânga și pe cei cu x2x_2 în dreapta, schimbându-le semnul.

    Verifică-te

    Ce relație între x1x_1 și x2x_2 obții?
    Așadar f(x1)=f(x2)⇒x1=x2f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2: funcția ff este injectivă.

  4. 4. Validare pe grafic

    Scriem 2x+1=2(x−1)+32x + 1 = 2(x - 1) + 3, deci f(x)=2+3x−1f(x) = 2 + \dfrac{3}{x - 1}. Graficul este o hiperbolă, ca a lui 1x\frac1x, mutată: o ramură la stânga dreptei x=1x = 1, alta la dreapta, iar valoarea 22 nu este atinsă niciodată.
    −4−3−2−1123456−3−2−112345678Oxy
    ff
    y=5y = 5

    Orice dreaptă orizontală taie graficul cel mult o dată; de exemplu y=5y = 5 doar în x=2x = 2, iar y=2y = 2 deloc.

    Ca la 1x\frac1x, ff este injectivă, deși nu este monotonă pe tot domeniul: f(0)=−1<f(2)=5f(0) = -1 < f(2) = 5, dar f(2)=5>f(4)=3f(2) = 5 > f(4) = 3.
Răspuns
Din f(x1)=f(x2)f(x_1) = f(x_2) rezultă −3x1=−3x2-3x_1 = -3x_2, deci x1=x2x_1 = x_2: funcția ff este injectivă.