MateClar
← Capitol

Manual · pagina 89

Exercițiul 12 · Dacă g∘fg \circ f este injectivă

(Activitate în pereche) Se consideră funcțiile f:A→Bf : A \to B și g:B→Cg : B \to C. Demonstrați propoziția: Dacă g∘fg \circ f este injectivă, atunci ff este injectivă. Este obligatoriu ca și gg să fie injectivă? Justificați.

Se consideră funcțiile f:A→Bf : A \to B și g:B→Cg : B \to C. Demonstrează: dacă g∘fg \circ f este injectivă, atunci ff este injectivă. Este obligatoriu ca și gg să fie injectivă? Justifică.

Pornește de la f(x1)=f(x2)f(x_1) = f(x_2) și „trimite” ambii membri prin gg. Pentru a doua întrebare, caută un element din BB în care nu ajunge nicio săgeată a lui ff.

  1. 1. Ce știm și ce trebuie arătat

    Ipoteza: g∘fg \circ f este injectivă, adică din g(f(x1))=g(f(x2))g(f(x_1)) = g(f(x_2)) rezultă x1=x2x_1 = x_2.

    Concluzia: ff este injectivă, adică pentru orice x1,x2∈Ax_1, x_2 \in A, din f(x1)=f(x2)f(x_1) = f(x_2) rezultă x1=x2x_1 = x_2.

    Despre gg singură nu știm nimic.

  2. 2. Demonstrația

    Fie x1,x2∈Ax_1, x_2 \in A cu f(x1)=f(x2)f(x_1) = f(x_2). Trebuie să ajungem la ipoteză, care vorbește despre g(f(x1))g(f(x_1)) și g(f(x2))g(f(x_2)).

    Verifică-te

    Ce pas ne duce de la f(x1)=f(x2)f(x_1) = f(x_2) la ipoteză?
    f(x1)=f(x2)⇒g(f(x1))=g(f(x2))⇒(g∘f)(x1)=(g∘f)(x2)⇒x1=x2\begin{aligned} & f(x_1) = f(x_2) \\ &\Rightarrow g(f(x_1)) = g(f(x_2)) \\ &\Rightarrow (g \circ f)(x_1) = (g \circ f)(x_2) \\ &\Rightarrow x_1 = x_2 \end{aligned}
    Ultima implicație este ipoteza: g∘fg \circ f este injectivă. Deci ff este injectivă.

  3. 3. Trebuie să fie și gg injectivă?

    Construim un exemplu mic, cu săgeți. BB are un element cc în care nu ajunge nicio săgeată a lui ff, iar gg îi trimite pe bb și pe cc în același loc.
    AA
    BB
    CC
    ff
    gg
    11
    22
    aa
    bb
    cc
    pp
    qq

    g(b)=g(c)=qg(b) = g(c) = q, deci gg nu este injectivă.

    Verifică-te

    Este g∘f:A→Cg \circ f : A \to C injectivă în acest exemplu?
    Deci g∘fg \circ f este injectivă (iar ff la fel, cum spune propoziția), dar gg nu este injectivă. Răspunsul este: nu, gg nu trebuie să fie injectivă.

  4. 4. Ce trebuie totuși să facă gg

    În demonstrație, gg este aplicată doar elementelor de forma f(x)f(x). De aceea gg trebuie să dea imagini diferite doar pe imaginea lui ff, f(A)f(A); în rest poate „lipi” elemente.

    Un exemplu cu numere: f:[0,∞)→Rf : [0, \infty) \to \mathbb R, f(x)=xf(x) = x și g:R→Rg : \mathbb R \to \mathbb R, g(x)=x2g(x) = x^2. Atunci (g∘f)(x)=x2{(g \circ f)(x)} = x^2 pe [0,∞)[0, \infty) este strict crescătoare, deci injectivă, dar gg nu este injectivă: g(−1)=g(1)g(-1) = g(1).

Răspuns
Din f(x1)=f(x2)f(x_1) = f(x_2) rezultă g(f(x1))=g(f(x2))g(f(x_1)) = g(f(x_2)), deci x1=x2x_1 = x_2, pentru că g∘fg \circ f este injectivă: ff este injectivă. gg nu este obligatoriu injectivă (de exemplu g(b)=g(c)g(b) = g(c) în diagramă); ajunge ca gg să fie injectivă pe f(A)f(A).