Manual · pagina 88

Exercițiul 2 · Funcțiile de la $A$ la $B$ cu două condiții

Se consideră mulțimile

A = \{1, 2, 3\}

și

B = \{5, 7, 9\}

. Determină toate funcțiile

{f : A \to B}

astfel încât

f(1) \ne 5

f(2) \ne 9

. Care dintre ele sunt injective?

Se consideră mulțimile $A = \{1, 2, 3\}$ și $B = \{5, 7, 9\}$ . Determină toate funcțiile ${f : A \to B}$ astfel încât $f(1) \ne 5$ , $f(2) \ne 9$ . Care dintre ele sunt injective?

O funcție pe

A

înseamnă să alegi câte o imagine pentru

1

, pentru

2

și pentru

3

. Vezi întâi ce variante rămân pentru fiecare.

1. O funcție pe o mulțime finită este o alegere
Ca să dai o funcție ${f : A \to B}$ cu ${A = \{1, 2, 3\}}$ , alegi o imagine din ${B = \{5, 7, 9\}}$ pentru fiecare element al lui $A$ (manual, p. 56: fiecărui element, un singur element din $B$ ). Funcția este complet descrisă de cele trei valori $f(1)$ , $f(2)$ , $f(3)$ ; le scriem pe scurt ca triplet $(f(1), f(2), f(3))$ .
Condițiile restrâng alegerile. Din ${f(1) \ne 5}$ rămâne ${f(1) \in \{7, 9\}}$ . Pentru $f(3)$ nu e nicio condiție: oricare dintre $5, 7, 9$ .
Verifică-te
Ce valori poate lua $f(2)$ ?
2. Câte funcții sunt
Avem $2$ variante pentru $f(1)$ , $2$ pentru $f(2)$ și $3$ pentru $f(3)$ , iar alegerile sunt independente: fiecare variantă pentru $f(1)$ se combină cu fiecare pentru $f(2)$ și cu fiecare pentru $f(3)$ .
Verifică-te
Câte funcții ${f : A \to B}$ îndeplinesc cele două condiții?
3. Care sunt injective
Funcție injectivă (manual, p. 85)
${f : A \to B}$ este injectivă dacă $x_1 \ne x_2 \Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2)$ . Aici, cu ${A = \{1, 2, 3\}}$ : cele trei valori $f(1)$ , $f(2)$ , $f(3)$ sunt diferite două câte două.
Cum $B$ are tot trei elemente, o funcție injectivă folosește fiecare element al lui $B$ exact o dată. Alegând $f(1)$ și $f(2)$ diferite, $f(3)$ este forțat.
Verifică-te
Dacă ${f(1) = 7}$ și ${f(2) = 5}$ , ce valoare trebuie să ia $f(3)$ ca $f$ să fie injectivă?
4. Toate cele 12 funcții
$f(1)$ $f(2)$ $f(3)$ Injectivă?
$7$ $5$ $5$ nu
$7$ $5$ $7$ nu
$7$ $5$ $9$ da
$7$ $7$ $5$ nu
$7$ $7$ $7$ nu
$7$ $7$ $9$ nu
$9$ $5$ $5$ nu
$9$ $5$ $7$ da
$9$ $5$ $9$ nu
$9$ $7$ $5$ da
$9$ $7$ $7$ nu
$9$ $7$ $9$ nu
Pentru „nu” ajunge o pereche de valori egale în rând, de exemplu la $(7, 7, 9)$ avem ${f(1) = f(2)}$ . Rămân trei funcții injective: $(7, 5, 9)$ , $(9, 5, 7)$ și $(9, 7, 5)$ .

$f(1)$	$f(2)$	$f(3)$	Injectivă?
$7$	$5$	$5$	nu
$7$	$5$	$7$	nu
$7$	$5$	$9$	da
$7$	$7$	$5$	nu
$7$	$7$	$7$	nu
$7$	$7$	$9$	nu
$9$	$5$	$5$	nu
$9$	$5$	$7$	da
$9$	$5$	$9$	nu
$9$	$7$	$5$	da
$9$	$7$	$7$	nu
$9$	$7$	$9$	nu

Răspuns

Sunt $12$ funcții: ${f(1) \in \{7, 9\}}$ , ${f(2) \in \{5, 7\}}$ , ${f(3) \in \{5, 7, 9\}}$ , oricum combinate.

Dintre ele, trei sunt injective; tripletul $(f(1), f(2), f(3))$ este $(7, 5, 9)$ , $(9, 5, 7)$ , respectiv $(9, 7, 5)$ .

Atenție: în manual, la răspunsuri, apare altceva

Funcțiile posibile sunt trei:

{f_1 = (5, 9, 5)}

{f_2 = (5, 9, 7)}

{f_3 = (5, 9, 9)}

(scrise ca

(f(1), f(2), f(3))

); singura funcție injectivă este

f_2

Toate funcțiile din răspunsul manualului au ${f(1) = 5}$ și ${f(2) = 9}$ , adică exact valorile pe care enunțul le interzice. Răspunsul rezolvă de fapt condițiile ${f(1) = 5}$ , ${f(2) = 9}$ : atunci doar $f(3)$ se alege liber, sunt $3$ funcții, iar singura injectivă este $(5, 9, 7)$ .

Cu enunțul tipărit, ${f(1) \ne 5}$ și ${f(2) \ne 9}$ , sunt $12$ funcții, dintre care $3$ injective, ca mai sus.

$f(1)$	$f(2)$	$f(3)$	Injectivă?
$7$	$5$	$5$	nu
$7$	$5$	$7$	nu
$7$	$5$	$9$	da
$7$	$7$	$5$	nu
$7$	$7$	$7$	nu
$7$	$7$	$9$	nu
$9$	$5$	$5$	nu
$9$	$5$	$7$	da
$9$	$5$	$9$	nu
$9$	$7$	$5$	da
$9$	$7$	$7$	nu
$9$	$7$	$9$	nu

$f(1)$	$f(2)$	$f(3)$	Injectivă?
$7$	$5$	$5$	nu
$7$	$5$	$7$	nu
$7$	$5$	$9$	da
$7$	$7$	$5$	nu
$7$	$7$	$7$	nu
$7$	$7$	$9$	nu
$9$	$5$	$5$	nu
$9$	$5$	$7$	da
$9$	$5$	$9$	nu
$9$	$7$	$5$	da
$9$	$7$	$7$	nu
$9$	$7$	$9$	nu

Exercițiul 2 · Funcțiile de la AAA la BBB cu două condiții

Se consideră mulțimile A={1,2,3}A = \{1, 2, 3\}A={1,2,3} și B={5,7,9}B = \{5, 7, 9\}B={5,7,9}. Determină toate funcțiile f:A→B{f : A \to B}f:A→B astfel încât f(1)≠5f(1) \ne 5f(1)=5, f(2)≠9f(2) \ne 9f(2)=9. Care dintre ele sunt injective?

1. O funcție pe o mulțime finită este o alegere ✓

2. Câte funcții sunt ✓

3. Care sunt injective ✓

4. Toate cele 12 funcții ✓

Exercițiul 2 · Funcțiile de la $A$ la $B$ cu două condiții

Se consideră mulțimile $A = \{1, 2, 3\}$ și $B = \{5, 7, 9\}$ . Determină toate funcțiile ${f : A \to B}$ astfel încât $f(1) \ne 5$ , $f(2) \ne 9$ . Care dintre ele sunt injective?

1. O funcție pe o mulțime finită este o alegere

2. Câte funcții sunt

3. Care sunt injective

4. Toate cele 12 funcții

$f(1)$	$f(2)$	$f(3)$	Injectivă?
$7$	$5$	$5$	nu
$7$	$5$	$7$	nu
$7$	$5$	$9$	da
$7$	$7$	$5$	nu
$7$	$7$	$7$	nu
$7$	$7$	$9$	nu
$9$	$5$	$5$	nu
$9$	$5$	$7$	da
$9$	$5$	$9$	nu
$9$	$7$	$5$	da
$9$	$7$	$7$	nu
$9$	$7$	$9$	nu