MateClar
← Capitol

Manual · pagina 88

Exercițiul 3 · Un radical și o parte întreagă

Studiază care dintre următoarele funcții sunt injective:

a) f1:(2,+∞)→Rf_1 : (2, +\infty) \to \mathbb R, f1(x)=x−2f_1(x) = \sqrt{x - 2};

b) f2:Z→Zf_2 : \mathbb Z \to \mathbb Z, f2(x)=x+[x]f_2(x) = x + [x].

a)f1:(2,+∞)→Rf_1 : (2, +\infty) \to \mathbb R, f1(x)=x−2{f_1(x) = \sqrt{x - 2}}

Pornește de la două numere cu aceeași imagine, x1−2=x2−2\sqrt{x_1 - 2} = \sqrt{x_2 - 2}, și vezi ce rezultă despre x1x_1 și x2x_2.

  1. 1. Ce trebuie arătat

    Ca să arăți că o funcție este injectivă nu ajung exemple: trebuie un argument pentru orice două numere din domeniu. Manualul dă o formă a definiției ușor de folosit.

    Verifică-te

    Ce implicație trebuie demonstrată pentru f1f_1?

  2. 2. Calculul

    Fie x1,x2∈(2,+∞)x_1, x_2 \in (2, +\infty) cu f1(x1)=f1(x2){f_1(x_1) = f_1(x_2)}, adică x1−2=x2−2{\sqrt{x_1 - 2} = \sqrt{x_2 - 2}}. Două numere egale au pătrate egale, deci ridicăm la pătrat ambii membri.

    Verifică-te

    Ce egalitate obții după ridicarea la pătrat?
    Adunând 22 în ambii membri: x1=x2{x_1 = x_2}. Implicația este demonstrată, deci f1f_1 este injectivă.

  3. 3. Ce arată graficul

    −112345678−1123Oxy
    f1f_1
    y=1{y = 1}
    (3,1)(3, 1)

    Fiecare dreaptă orizontală taie graficul în cel mult un punct. În x=2{x = 2} cerculețul e gol: 22 nu este în domeniu.

    Testul dreptei orizontale (manual, p. 85): o funcție este injectivă dacă orice dreaptă orizontală taie graficul în cel mult un punct. Graficul lui f1f_1 urcă tot timpul, deci nu poate trece de două ori la aceeași înălțime.

    Același lucru îl spune observația de la p. 85: o funcție strict crescătoare este injectivă. Calculul de la pasul 2 este însă demonstrația; desenul doar o confirmă.

Răspuns
f1f_1 este injectivă: din x1−2=x2−2{\sqrt{x_1 - 2} = \sqrt{x_2 - 2}} rezultă x1−2=x2−2{x_1 - 2 = x_2 - 2}, deci x1=x2{x_1 = x_2}.

b)f2:Z→Zf_2 : \mathbb Z \to \mathbb Z, f2(x)=x+[x]{f_2(x) = x + [x]}

Uită-te la domeniu: xx este număr întreg. Cât este partea întreagă a unui număr întreg?

  1. 1. Domeniul simplifică legea

    Funcția este definită doar pe Z\mathbb Z, deci xx este mereu un număr întreg. Înainte de orice calcul, merită văzut ce devine [x][x] pentru astfel de numere.

    Verifică-te

    Cât este [x][x] pentru x∈Z{x \in \mathbb Z}?

  2. 2. Injectivitatea

    Pentru x∈Z{x \in \mathbb Z} avem f2(x)=x+x=2x{f_2(x) = x + x = 2x}. Folosim forma din manual (p. 85): fie x1,x2∈Z{x_1, x_2 \in \mathbb Z} cu f2(x1)=f2(x2){f_2(x_1) = f_2(x_2)}.
    2x1=2x2  ⇒  x1=x22x_1 = 2x_2 \;\Rightarrow\; x_1 = x_2
    Deci f2f_2 este injectivă.
    −3−2−1123−5−4−3−2−112345Oxy
    y=2{y = 2}

    Graficul lui f2f_2 este format din puncte izolate, (x,2x)(x, 2x) cu xx întreg. O dreaptă orizontală întâlnește cel mult unul.

Răspuns
f2f_2 este injectivă: pe Z\mathbb Z, [x]=x{[x] = x}, deci f2(x)=2x{f_2(x) = 2x}, iar 2x1=2x2⇒x1=x22x_1 = 2x_2 \Rightarrow x_1 = x_2.