MateClar
← Capitol

Manual · pagina 88

Exercițiul 4 · Șapte funcții care nu sunt injective

(Activitate în pereche) Justificați că următoarele funcții nu sunt injective:

a) f:R→Rf : \mathbb R \to \mathbb R, f(x)=x3−7x2f(x) = x^3 - 7x^2;

b) f:R→Rf : \mathbb R \to \mathbb R, f(x)=x3−2x2−5x+1f(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 1;

c) f:R→Rf : \mathbb R \to \mathbb R, f(x)=∣x∣f(x) = |x|;

d) f:R→Rf : \mathbb R \to \mathbb R, f(x)=[x]f(x) = [x];

e) f:R→Rf : \mathbb R \to \mathbb R, f(x)={x}f(x) = \{x\};

f) f:R→Rf : \mathbb R \to \mathbb R, f(x)=∣x−1∣+∣x−2∣f(x) = |x - 1| + |x - 2|;

g) f:R∗→Rf : \mathbb R^* \to \mathbb R, f(x)=x+1xf(x) = x + \dfrac1x.

a)f:R→Rf : \mathbb R \to \mathbb R, f(x)=x3−7x2{f(x) = x^3 - 7x^2}

Caută două numere diferite cu aceeași imagine. Valoarea cea mai ușor de atins este 00: când se anulează x3−7x2{x^3 - 7x^2}?

  1. 1. Ce înseamnă „nu este injectivă”

    Deci nu avem de demonstrat ceva „pentru orice”: ajunge un singur exemplu, două numere diferite cu aceeași imagine (așa face și manualul pentru x2x^2, la p. 86). Rămâne să găsim perechea.

  2. 2. Căutăm două numere cu imaginea 0

    Ecuația f(x)=0{f(x) = 0} se rezolvă ușor dând factor comun pe x2x^2 (din gimnaziu):
    x3−7x2=x2(x−7)=0x^3 - 7x^2 = x^2(x - 7) = 0

    Verifică-te

    Pentru ce valori ale lui xx avem f(x)=0{f(x) = 0}?
    Deci f(0)=f(7)=0{f(0) = f(7) = 0}, cu 0≠7{0 \ne 7}: funcția nu este injectivă.

  3. 3. Pe grafic

    −2−112345678−60−50−40−30−20−101020304050Oxy
    ff
    (0,0)(0, 0)
    (7,0)(7, 0)

    Dreapta orizontală y=0{y = 0} (chiar axa OxOx) taie graficul în două puncte, deci ff nu trece testul.

Răspuns
f(0)=f(7)=0{f(0) = f(7) = 0} și 0≠7{0 \ne 7}, deci ff nu este injectivă.

b)f:R→Rf : \mathbb R \to \mathbb R, f(x)=x3−2x2−5x+1{f(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 1}

Calculează valorile lui ff în câteva numere întregi mici și caută o valoare care se repetă.

  1. 1. Ce căutăm

    Aici ecuația f(x)=0{f(x) = 0} nu are soluții ușor de găsit. Încercăm altfel: un tabel de valori în numere întregi mici. Dacă o valoare apare de două ori, avem perechea.

  2. 2. Un tabel de valori

    xxf(x)f(x)
    −1-1−1−2+5+1=3{-1 - 2 + 5 + 1 = 3}
    0011
    111−2−5+1=−5{1 - 2 - 5 + 1 = -5}
    228−8−10+1=−9{8 - 8 - 10 + 1 = -9}
    Până acum nicio valoare nu se repetă. Încă un pas, x=3{x = 3}:
    f(3)=33−2⋅32−5⋅3+1f(3) = 3^3 - 2 \cdot 3^2 - 5 \cdot 3 + 1

    Verifică-te

    Cât este f(3)f(3)?
    Deci f(1)=f(3)=−5{f(1) = f(3) = -5}, cu 1≠3{1 \ne 3}: funcția nu este injectivă.

  3. 3. Pe grafic

    −3−2−112345−10−8−6−4−2246Oxy
    ff
    y=−5{y = -5}

    Dreapta y=−5{y = -5} taie graficul de trei ori: și f(−2)=−8−8+10+1=−5f(-2) = -8 - 8 + 10 + 1 = -5.

    Graficul urcă, coboară, apoi urcă iar; orice formă cu „deal și vale” dă drepte orizontale care o taie de mai multe ori.
Răspuns
f(1)=f(3)=−5{f(1) = f(3) = -5} și 1≠3{1 \ne 3}, deci ff nu este injectivă.

c)f:R→Rf : \mathbb R \to \mathbb R, f(x)=∣x∣{f(x) = |x|}

Modulul „uită” semnul numărului.

  1. 1. Ce căutăm

    Modulul unui număr este distanța lui până la 00 pe axă (din gimnaziu). Două numere așezate simetric față de 00 sunt la aceeași distanță.

    Verifică-te

    Ce număr diferit de 33 are tot modulul 33?

  2. 2. Perechea și graficul

    Cel mai simplu: f(1)=∣1∣=1{f(1) = |1| = 1} și f(−1)=∣−1∣=1{f(-1) = |-1| = 1}. Avem f(1)=f(−1){f(1) = f(-1)} cu 1≠−1{1 \ne -1}, deci funcția nu este injectivă.
    −4−3−2−112345−11234Oxy
    ∣x∣|x|
    y=1{y = 1}
    y=3{y = 3}

    Orice dreaptă y=k{y = k} cu k>0{k > 0} taie „V”-ul în două puncte simetrice.

Răspuns
f(1)=f(−1)=1{f(1) = f(-1) = 1} și 1≠−1{1 \ne -1}, deci ff nu este injectivă.

d)f:R→Rf : \mathbb R \to \mathbb R, f(x)=[x]{f(x) = [x]}

Partea întreagă a lui 11 și a unui număr puțin mai mare decât 11.

  1. 1. Ce căutăm

    Partea întreagă „taie” zecimalele (pentru numere pozitive). Două numere care diferă doar prin zecimale au aceeași parte întreagă.

    Verifică-te

    Cât este [1,5][1{,}5]?

  2. 2. Perechea și graficul

    Avem f(1)=[1]=1{f(1) = [1] = 1} și f(1,5)=1{f(1{,}5) = 1}, cu 1≠1,5{1 \ne 1{,}5}. Deci funcția nu este injectivă.
    −3−2−1123−3−2−1123Oxy
    y=1{y = 1}
    (1,5; 1)(1{,}5;\ 1)

    Dreapta y=1{y = 1} conține o întreagă „treaptă”: toate numerele din [1,2)[1, 2) au imaginea 11.

Răspuns
f(1)=f(1,5)=1{f(1) = f(1{,}5) = 1} și 1≠1,5{1 \ne 1{,}5}, deci ff nu este injectivă.

e)f:R→Rf : \mathbb R \to \mathbb R, f(x)={x}{f(x) = \{x\}}

Ce parte fracționară au numerele întregi?

  1. 1. Ce căutăm

    Verifică-te

    Cât este {x}\{x\} când xx este un număr întreg?

  2. 2. Perechea și graficul

    Toate numerele întregi au aceeași imagine. De exemplu f(1)=f(2)=0{f(1) = f(2) = 0}, cu 1≠2{1 \ne 2}: funcția nu este injectivă.
    −2−11234−112Oxy

    Graficul „dinți de fierăstrău”: dreapta punctată y=0,5{y = 0{,}5} îl taie pe fiecare dinte. La fel taie axa OxOx (y=0{y = 0}) în fiecare număr întreg.

Răspuns
f(1)=f(2)=0{f(1) = f(2) = 0} și 1≠2{1 \ne 2}, deci ff nu este injectivă.

f)f:R→Rf : \mathbb R \to \mathbb R, f(x)=∣x−1∣+∣x−2∣{f(x) = |x - 1| + |x - 2|}

Calculează f(1)f(1) și f(2)f(2). Apoi vezi ce face ff între 11 și 22.

  1. 1. Ce căutăm

    Numerele 11 și 22, unde se anulează câte un modul, sunt candidații naturali:
    f(1)=∣0∣+∣−1∣=1f(2)=∣1∣+∣0∣=1\begin{aligned} f(1) &= |0| + |-1| = 1 \\ f(2) &= |1| + |0| = 1 \end{aligned}
    Deci f(1)=f(2){f(1) = f(2)}, cu 1≠2{1 \ne 2}: funcția nu este injectivă. Perechea ajunge, dar merită văzut de ce se întâmplă.

  2. 2. Ce face funcția între 1 și 2

    Pentru x∈[1,2]{x \in [1, 2]} avem x−1≥0{x - 1 \ge 0} și x−2≤0{x - 2 \le 0}, deci ∣x−1∣=x−1{|x - 1| = x - 1} și ∣x−2∣=2−x{|x - 2| = 2 - x} (din gimnaziu: ∣a∣=−a{|a| = -a} pentru a≤0{a \le 0}).

    Verifică-te

    Cât este f(x)f(x) pentru x∈[1,2]{x \in [1, 2]}?

  3. 3. Pe grafic

    −11234−112345Oxy
    ff
    y=1{y = 1}
    (1,1)(1, 1)
    (2,1)(2, 1)

    Graficul are un „palier” la înălțimea 11, pe [1,2][1, 2]: dreapta y=1{y = 1} îl conține în întregime.

Răspuns
f(1)=f(2)=1{f(1) = f(2) = 1} și 1≠2{1 \ne 2}, deci ff nu este injectivă (de fapt f(x)=1{f(x) = 1} pe tot intervalul [1,2][1, 2]).

g)f:R∗→Rf : \mathbb R^* \to \mathbb R, f(x)=x+1x{f(x) = x + \dfrac1x}

Ce se întâmplă cu x+1x{x + \frac1x} dacă îl înlocuiești pe xx cu inversul lui, 1x\frac1x?

  1. 1. Ce căutăm

    Legea x+1x{x + \frac1x} conține un număr și inversul lui. Dacă îl schimbăm pe xx cu 1x\frac1x, cei doi termeni doar își schimbă locul. Încercăm cu x=2{x = 2}: f(2)=2+12=52f(2) = 2 + \frac12 = \frac52.

    Verifică-te

    Cât este f(12)f\left(\frac12\right)?

  2. 2. Concluzia și graficul

    Deci f(2)=f(12)=52f(2) = f\left(\frac12\right) = \frac52, cu 2≠12{2 \ne \frac12}: funcția nu este injectivă. În general f(a)=f(1a)f(a) = f\left(\frac1a\right), iar pentru a≠±1{a \ne \pm 1} cele două numere sunt diferite.
    −4−3−2−112345−5−4−3−2−112345Oxy
    ff
    ff
    y=52{y = \frac52}

    Dreapta y=52{y = \frac52} taie ramura din dreapta în două puncte, x=12{x = \frac12} și x=2{x = 2}.

Răspuns
f(2)=f(12)=52f(2) = f\left(\frac12\right) = \frac52 și 2≠12{2 \ne \frac12}, deci ff nu este injectivă.