MateClar
← Capitol

Manual · pagina 89

Exercițiul 5 · Testul liniilor orizontale pe două funcții pe ramuri

Reprezintă grafic funcțiile și analizează dacă sunt injective prin lectura graficului (testul liniilor orizontale):

a) f:R→Rf : \mathbb R \to \mathbb R, f(x)={x+2,x≥0x+3,x<0f(x) = \begin{cases} x + 2, & x \ge 0 \\ x + 3, & x < 0 \end{cases};

b) g:R→Rg : \mathbb R \to \mathbb R, g(x)={x,x≤1x2−2x+2,x>1g(x) = \begin{cases} x, & x \le 1 \\ x^2 - 2x + 2, & x > 1 \end{cases}.

a)f:R→Rf : \mathbb R \to \mathbb R, f(x)={x+2,x≥0x+3,x<0f(x) = \begin{cases} x + 2, & x \ge 0 \\ x + 3, & x < 0 \end{cases}

Desenează fiecare ramură doar pe intervalul ei. Apoi uită-te la înălțimile la care ajung ambele ramuri.

  1. 1. Ce cere testul

    Fiecare ramură este o semidreaptă care urcă, deci o dreaptă orizontală o taie cel mult o dată. Întrebarea este dacă cele două ramuri ajung la aceleași înălțimi.

  2. 2. Graficul pe ramuri

    Pentru x≥0{x \ge 0}: f(x)=x+2{f(x) = x + 2} pornește din punctul (0,2)(0, 2), inclus (cerculeț plin), și urcă. Ia valorile [2,+∞){[2, +\infty)}.

    Pentru x<0{x < 0}: f(x)=x+3{f(x) = x + 3} trece prin (−3,0){(-3, 0)} și urcă spre dreapta.

    Verifică-te

    Ce valori ia ff pentru x<0{x < 0}?
    −4−3−2−1123−112345Oxy
    x+3{x + 3}
    x+2{x + 2}

    Ramura stângă se oprește sub punctul gol (0,3)(0, 3); ramura dreaptă pornește din punctul plin (0,2)(0, 2).

  3. 3. O dreaptă orizontală care taie de două ori

    Valorile ramurii stângi, (−∞,3){(-\infty, 3)}, și ale celei drepte, [2,+∞){[2, +\infty)}, se suprapun între 22 și 33. Încercăm dreapta y=2{y = 2}: pe ramura dreaptă, x+2=2{x + 2 = 2} dă x=0{x = 0}.

    Verifică-te

    Pentru ce x<0{x < 0} avem f(x)=x+3=2{f(x) = x + 3 = 2}?
    −4−3−2−1123−112345Oxy
    y=2{y = 2}
    (−1,2){(-1, 2)}

    Dreapta y=2{y = 2} taie graficul de două ori: în (−1,2){(-1, 2)} și în (0,2)(0, 2).

    Deci f(−1)=f(0)=2{f(-1) = f(0) = 2}, cu −1≠0{-1 \ne 0}: ff nu este injectivă.

  4. 4. Toate dreptele „vinovate”

    Dreapta y=k{y = k} taie graficul de două ori exact când kk este o valoare a ambelor ramuri.

    Verifică-te

    Pentru ce valori ale lui kk dreapta y=k{y = k} taie graficul în două puncte?
Răspuns
ff nu este injectivă: dreapta y=2{y = 2} taie graficul în două puncte, f(−1)=f(0)=2{f(-1) = f(0) = 2}. La fel orice dreaptă y=k{y = k} cu k∈[2,3){k \in [2, 3)}.

b)g:R→Rg : \mathbb R \to \mathbb R, g(x)={x,x≤1x2−2x+2,x>1g(x) = \begin{cases} x, & x \le 1 \\ x^2 - 2x + 2, & x > 1 \end{cases}

Scrie x2−2x+2{x^2 - 2x + 2} ca un pătrat plus un număr. Ce valori ia pentru x>1{x > 1}, comparat cu ramura x≤1{x \le 1}?

  1. 1. Ramura a doua, mai ușor de citit

    Prima ramură este dreapta y=x{y = x}, pentru x≤1{x \le 1}: urcă și se oprește în punctul plin (1,1)(1, 1). Pentru a doua, x2−2x+2{x^2 - 2x + 2}, restrângem pătratul (din gimnaziu): x2−2x{x^2 - 2x} este începutul lui (x−1)2=x2−2x+1{(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1}.

    Verifică-te

    Cum se scrie x2−2x+2{x^2 - 2x + 2} cu un pătrat?

    Deci pentru x>1{x > 1}: g(x)=(x−1)2+1{g(x) = (x - 1)^2 + 1}. Câteva valori: g(1,5)=1,25{g(1{,}5) = 1{,}25}, g(2)=2{g(2) = 2}, g(3)=5{g(3) = 5}.

    Când xx crește peste 11, numărul x−1>0{x - 1 > 0} crește, deci și pătratul lui crește: ramura urcă, pornind (fără să-l atingă) din dreptul punctului (1,1)(1, 1), unde valoarea ar fi 0+1=1{0 + 1 = 1}.

  2. 2. Graficul și dreptele orizontale

    −2−11234−2−1123456Oxy
    y=x{y = x}
    (x−1)2+1{(x - 1)^2 + 1}

    Cele două ramuri se întâlnesc în (1,1)(1, 1): graficul urcă tot timpul, de la stânga la dreapta.

    Verifică-te

    În câte puncte taie graficul o dreaptă orizontală y=k{y = k} cu k>1{k > 1}?
    O dreaptă y=k{y = k} cu k≤1{k \le 1} taie doar prima ramură, o singură dată, în x=k{x = k}. Deci orice dreaptă orizontală taie graficul în cel mult un punct: gg trece testul.

  3. 3. Argumentul din spatele desenului

    Lectura grafică se sprijină pe două fapte, ușor de justificat.

    Ramurile nu ajung la aceeași înălțime. Pentru x≤1{x \le 1}, g(x)=x≤1{g(x) = x \le 1}. Pentru x>1{x > 1}, (x−1)2>0{(x - 1)^2 > 0}, deci g(x)>1{g(x) > 1}.

    Fiecare ramură urcă. Pe prima e clar. Pe a doua, dacă 1<x1<x2{1 < x_1 < x_2}, atunci 0<x1−1<x2−1{0 < x_1 - 1 < x_2 - 1}, iar pătratele a două numere pozitive sunt în aceeași ordine ca numerele:

    (x1−1)2<(x2−1)2,deci g(x1)<g(x2).\begin{aligned} (x_1 - 1)^2 &< (x_2 - 1)^2, \\ \text{deci } g(x_1) &< g(x_2). \end{aligned}
    Cele două fapte împreună arată că gg este strict crescătoare pe R\mathbb R (manual, p. 71: ramuri crescătoare, „lipite” în ordine), deci gg este injectivă.
Răspuns
gg este injectivă: graficul urcă tot timpul, iar orice dreaptă orizontală îl taie în cel mult un punct. Ramura x≤1{x \le 1} dă valori ≤1{\le 1}, ramura x>1{x > 1} dă valori >1{> 1}.