Manual · pagina 89

Exercițiul 6 · Injectivitatea unor funcții pe ramuri

Studiază injectivitatea funcțiilor:

a) $f : \mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & x > 1 \\ 3x, & x \le 1 \end{cases}$ ;

b) $f : \mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = \begin{cases} x + 2, & x < -1 \\ x^2, & x \ge -1 \end{cases}$ ;

c) $f : \mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = \begin{cases} 3x - 1, & x \in \mathbb Q \\ 4x, & x \in \mathbb R \setminus \mathbb Q \end{cases}$ ;

d) $f : \mathbb Z \to \mathbb Z$ , $f(x) = \begin{cases} x - 1, & x \text{ impar} \\ x + 1, & x \text{ par} \end{cases}$ .

a) $f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & x > 1 \\ 3x, & x \le 1 \end{cases}$

Fiecare ramură, luată singură, este injectivă. Rămâne de văzut dacă cele două ramuri pot da aceeași valoare.

1. Cum se studiază o funcție pe ramuri
Funcție injectivă (manual, p. 85)
$f$ este injectivă dacă pentru orice $x_1, x_2$ din domeniu, din ${f(x_1) = f(x_2)}$ rezultă ${x_1 = x_2}$ .
Luăm ${f(x_1) = f(x_2)}$ și separăm cazurile după ramura în care se află $x_1$ și $x_2$ .
Ambele pe aceeași ramură. Dacă ${x_1, x_2 \le 1}$ : $3x_1 = 3x_2 \Rightarrow x_1 = x_2$ . Dacă ${x_1, x_2 > 1}$ : $2x_1 + 1 = 2x_2 + 1 \Rightarrow x_1 = x_2$ .
Pe ramuri diferite. Aici e întrebarea reală: poate ramura stângă să dea o valoare pe care o dă și ramura dreaptă? Pentru asta aflăm ce valori ia fiecare ramură.
2. Ce valori ia fiecare ramură
Verifică-te
Ce valori ia $3x$ pentru ${x \le 1}$ ?
Pentru ${x > 1}$ : ${2x > 2}$ , deci ${2x + 1 > 3}$ . Ramura dreaptă ia valori în ${(3, +\infty)}$ , strict peste $3$ .
3. Concluzia și graficul
Ramura stângă dă valori ${\le 3}$ , ramura dreaptă valori ${> 3}$ : niciun număr nu este dat de ambele. Deci cazul „pe ramuri diferite” nu poate produce ${f(x_1) = f(x_2)}$ . Toate cazurile duc la ${x_1 = x_2}$ : $f$ este injectivă.
Ramurile se „lipesc” în $(1, 3)$ și graficul urcă tot timpul: orice dreaptă orizontală îl taie o singură dată.

Răspuns

f

este injectivă: fiecare ramură este injectivă, iar valorile lor,

{(-\infty, 3]}

și

{(3, +\infty)}

, nu au niciun număr comun.

b) $f(x) = \begin{cases} x + 2, & x < -1 \\ x^2, & x \ge -1 \end{cases}$

Ramura

x^2

este folosită pe

{[-1, +\infty)}

, un interval care conține și numere negative, și pozitive.

1. Unde poate apărea o pereche
Funcție neinjectivă (manual, p. 85)
$f$ nu este injectivă dacă există ${x_1 \ne x_2}$ în domeniu cu ${f(x_1) = f(x_2)}$ . Ajunge un singur exemplu.
Ramura $x^2$ este folosită pe ${[-1, +\infty)}$ , un interval care conține și numere negative, și pozitive.
Verifică-te
Există ${x_2 \ge -1}$ , ${x_2 \ne -1}$ , cu ${x_2^2 = (-1)^2}$ ?
2. Concluzia și graficul
Avem ${f(-1) = f(1) = 1}$ (ambele pe ramura $x^2$ , fiindcă ${-1 \ge -1}$ ), cu ${-1 \ne 1}$ . Deci $f$ nu este injectivă.
Dreapta ${y = 1}$ taie graficul în ${(-1, 1)}$ și în $(1, 1)$ . O dreaptă puțin mai jos, de exemplu ${y = 0{,}5}$ , l-ar tăia chiar de trei ori.
Și ramurile între ele se suprapun: $f(-2) = -2 + 2 = 0 = f(0)$ . Orice pereche dintre acestea ajunge ca dovadă.

Răspuns

f

nu este injectivă:

{f(-1) = f(1) = 1}

, cu

{-1 \ne 1}

c) $f(x) = \begin{cases} 3x - 1, & x \in \mathbb Q \\ 4x, & x \in \mathbb R \setminus \mathbb Q \end{cases}$

Pornește de la

{f(x_1) = f(x_2)}

și ia pe rând cazurile: ambele raționale, ambele iraționale, unul rațional și unul irațional. Cazul al treilea se rezolvă printr-o întrebare: ce fel de număr iese?

1. De ce nu folosim graficul
Numerele raționale și cele iraționale sunt amestecate pe axă: între oricare două raționale există iraționale, și invers. Graficul acestei funcții nu se poate desena ca o curbă, deci lucrăm cu definiția.
Funcție injectivă (manual, p. 85)
$f$ este injectivă dacă pentru orice ${x_1, x_2 \in \mathbb R}$ , din ${f(x_1) = f(x_2)}$ rezultă ${x_1 = x_2}$ .
Fie ${f(x_1) = f(x_2)}$ . Separăm cazurile după tipul celor două numere.
Ambele raționale: $3x_1 - 1 = 3x_2 - 1 \Rightarrow x_1 = x_2$ .
Ambele iraționale: $4x_1 = 4x_2 \Rightarrow x_1 = x_2$ .
2. Cazul amestecat
Rămâne ${x_1 \in \mathbb Q}$ și $x_2 \in \mathbb R \setminus \mathbb Q$ (cazul invers e la fel). Egalitatea ${f(x_1) = f(x_2)}$ înseamnă ${3x_1 - 1 = 4x_2}$ , adică
$x_2 = \frac{3x_1 - 1}{4}$
Verifică-te
Dacă ${x_1 \in \mathbb Q}$ , ce fel de număr este ${\dfrac{3x_1 - 1}{4}}$ ?
Deci $x_2$ ar fi rațional, deși l-am ales irațional: contradicție (reducere la absurd, din capitolul 1). Cazul amestecat nu se poate întâmpla.
3. Concluzia
În toate cazurile posibile, ${f(x_1) = f(x_2)}$ duce la ${x_1 = x_2}$ . Deci $f$ este injectivă. Altfel spus: ramura raționalelor dă doar valori raționale, ramura iraționalelor doar valori iraționale ( $4x$ cu $x$ irațional e irațional), iar pe fiecare ramură legea e injectivă.

Răspuns

f

este injectivă. Pe fiecare ramură legea este injectivă, iar

{3x_1 - 1 = 4x_2}

{x_1 \in \mathbb Q}

ar da

x_2 = \frac{3x_1 - 1}{4} \in \mathbb Q

, imposibil pentru

x_2

irațional.

d) $f : \mathbb Z \to \mathbb Z$ , $f(x) = \begin{cases} x - 1, & x \text{ impar} \\ x + 1, & x \text{ par} \end{cases}$

Ce paritate are

f(x)

când

x

este impar? Dar când

x

este par?

1. Ce face funcția
Pentru $x$ par se adună $1$ : ${f(0) = 1}$ , ${f(2) = 3}$ , ${f(-2) = -1}$ . Pentru $x$ impar se scade $1$ .
Verifică-te
Dacă $x$ este impar, ce paritate are ${f(x) = x - 1}$ ?
La fel, dacă $x$ este par, ${f(x) = x + 1}$ este impar. Deci numerele impare merg în numere pare, iar cele pare în numere impare.
2. Pe o porțiune din $\mathbb Z$
O porțiune din $\mathbb Z$ : funcția schimbă între ele numerele din perechile ${\{-2, -1\}}$ , $\{0, 1\}$ , $\{2, 3\}$ .
Pe desen nicio țintă nu primește două săgeți: săgețile din numerele pare ajung în numere impare și invers. Ca să fim siguri pentru tot $\mathbb Z$ , nu doar pe porțiunea desenată, mai trebuie tratate cazurile.
3. Cazurile
Funcție injectivă (manual, p. 85)
$f$ este injectivă dacă pentru orice $x_1, x_2$ din domeniu, din ${f(x_1) = f(x_2)}$ rezultă ${x_1 = x_2}$ .
Fie ${f(x_1) = f(x_2)}$ .
Ambele impare: $x_1 - 1 = x_2 - 1 \Rightarrow x_1 = x_2$ .
Ambele pare: $x_1 + 1 = x_2 + 1 \Rightarrow x_1 = x_2$ .
Unul impar, unul par: imaginea primului este pară, a celui de-al doilea impară, deci nu pot fi egale. Cazul nu apare.
Deci $f$ este injectivă.

Răspuns

f

este injectivă: pe fiecare ramură legea este injectivă, iar numerele impare au imagini pare, cele pare imagini impare, deci două numere de paritate diferită nu au aceeași imagine.

Exercițiul 6 · Injectivitatea unor funcții pe ramuri

a)f(x)={2x+1,x>13x,x≤1f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & x > 1 \\ 3x, & x \le 1 \end{cases}f(x)={2x+1,3x,​x>1x≤1​

1. Cum se studiază o funcție pe ramuri ✓

2. Ce valori ia fiecare ramură ✓

3. Concluzia și graficul ✓

b)f(x)={x+2,x<−1x2,x≥−1f(x) = \begin{cases} x + 2, & x < -1 \\ x^2, & x \ge -1 \end{cases}f(x)={x+2,x2,​x<−1x≥−1​

1. Unde poate apărea o pereche ✓

2. Concluzia și graficul ✓

c)f(x)={3x−1,x∈Q4x,x∈R∖Qf(x) = \begin{cases} 3x - 1, & x \in \mathbb Q \\ 4x, & x \in \mathbb R \setminus \mathbb Q \end{cases}f(x)={3x−1,4x,​x∈Qx∈R∖Q​

1. De ce nu folosim graficul ✓

2. Cazul amestecat ✓

3. Concluzia ✓

d)f:Z→Zf : \mathbb Z \to \mathbb Zf:Z→Z, f(x)={x−1,x imparx+1,x parf(x) = \begin{cases} x - 1, & x \text{ impar} \\ x + 1, & x \text{ par} \end{cases}f(x)={x−1,x+1,​x imparx par​

1. Ce face funcția ✓

2. Pe o porțiune din Z\mathbb ZZ ✓

3. Cazurile ✓

a) $f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & x > 1 \\ 3x, & x \le 1 \end{cases}$

1. Cum se studiază o funcție pe ramuri

2. Ce valori ia fiecare ramură

3. Concluzia și graficul

b) $f(x) = \begin{cases} x + 2, & x < -1 \\ x^2, & x \ge -1 \end{cases}$

1. Unde poate apărea o pereche

2. Concluzia și graficul

c) $f(x) = \begin{cases} 3x - 1, & x \in \mathbb Q \\ 4x, & x \in \mathbb R \setminus \mathbb Q \end{cases}$

1. De ce nu folosim graficul

2. Cazul amestecat

3. Concluzia

d) $f : \mathbb Z \to \mathbb Z$ , $f(x) = \begin{cases} x - 1, & x \text{ impar} \\ x + 1, & x \text{ par} \end{cases}$

1. Ce face funcția

2. Pe o porțiune din $\mathbb Z$

3. Cazurile