Exercițiul 7 · Injectivitate cu parametrul m

a) $f(x) = \begin{cases} 3x - 2, & x \le 1 \\ 2x + m, & x > 1 \end{cases}$

Pe fiecare ramură,

f

este o funcție de gradul I cu coeficientul lui

x

pozitiv. Problema poate apărea doar între un punct din stânga lui

1

și unul din dreapta: compară valorile celor două ramuri.

1. Unde pot apărea două valori egale
Funcție injectivă (manual, p. 85)
$f : A \to B$ este injectivă dacă din $f(x_1) = f(x_2)$ rezultă $x_1 = x_2$ : puncte diferite au imagini diferite.
$f$ nu este injectivă dacă există $x_1 \ne x_2$ cu $f(x_1) = f(x_2)$ .
Orice funcție strict monotonă este injectivă (manual, p. 85).
Pe fiecare ramură, $f$ este de gradul I cu coeficient pozitiv ( $3$ , respectiv $2$ ), deci strict crescătoare. Două puncte de pe aceeași ramură au mereu imagini diferite.
Rămâne de văzut dacă un punct $x_1 \le 1$ și un punct $x_2 > 1$ pot avea aceeași imagine. Pentru asta aflăm ce valori ia fiecare ramură.
2. Valorile fiecărei ramuri
Stânga. Din $x \le 1$ rezultă $3x \le 3$ , deci $3x - 2 \le 1$ . Orice $y \le 1$ se obține, în $x = \frac{y + 2}{3} \le 1$ . Ramura din stânga ia valorile $(-\infty, 1]$ , iar cea mai mare dintre ele este $f(1) = 1$ .
Dreapta. Pornim de la $x > 1$ și construim, pas cu pas, $2x + m$ .
Verifică-te
Ce valori ia $2x + m$ când $x > 1$ ?
3. Când ramurile nu se ating
Dacă mulțimile $(-\infty, 1]$ și $(2 + m, +\infty)$ nu au niciun element comun, nicio valoare nu se repetă de la o ramură la alta.
Verifică-te
Pentru ce valori ale lui $m$ nu se suprapun $(-\infty, 1]$ și $(2 + m, +\infty)$ ?
Pentru $m \ge -1$ , fie $x_1 \le 1 < x_2$ . Atunci $f(x_1) \le 1 \le 2 + m < f(x_2)$ . Cum fiecare ramură este strict crescătoare, $f$ este strict crescătoare pe $\mathbb R$ (ca în problema rezolvată 1 de la p. 71), deci injectivă.
Pe desen, pentru $m = 0$ : ramura din dreapta pornește de la $2$ , deasupra punctului $(1, 1)$ , și orice dreaptă orizontală taie graficul cel mult o dată.
Pentru $m = 0$ : ramura $3x - 2$ are valori cel mult $1$ , ramura $2x$ valori mai mari decât $2$ .
4. Când ramurile se suprapun
Pentru $m < -1$ avem $2 + m < 1$ , deci valoarea $1 = f(1)$ este atinsă și de ramura din dreapta. Să găsim punctul, întâi pentru $m = -3$ , când ramura din dreapta este $2x - 3$ .
Verifică-te
Pentru $m = -3$ , în ce punct $x > 1$ avem $f(x) = 1$ ?
În general, $2x + m = 1$ dă $x = \frac{1 - m}{2}$ , iar pentru $m < -1$ avem $1 - m > 2$ , deci $x > 1$ :
$\begin{aligned} f\left(\tfrac{1 - m}{2}\right) &= 1 = f(1), \\ \tfrac{1 - m}{2} &\ne 1 \end{aligned}$
Deci pentru $m < -1$ funcția nu este injectivă. Pe desen, dreapta $y = 1$ taie graficul de două ori.
Pentru $m = -3$ : ramura $3x - 2$ ajunge în $(1, 1)$ , iar ramura $2x - 3$ trece prin $(2, 1)$ .

Răspuns

f

este injectivă exact pentru

m \in [-1, +\infty)

.

b) $f(x) = \begin{cases} 3x - 2, & x \le 1 \\ mx + 2, & x > 1 \end{cases}$

Acum

m

este coeficientul lui

x

, deci de semnul lui depinde dacă ramura din dreapta urcă, coboară sau stă pe loc. Ia pe rând

m > 0

,

m = 0

și

m < 0

.

1. Ce știm deja și ce depinde de $m$
Funcție injectivă (manual, p. 85)
$f$ este injectivă dacă din $f(x_1) = f(x_2)$ rezultă $x_1 = x_2$ ; ca să arăți că nu este, ajunge o pereche $x_1 \ne x_2$ cu $f(x_1) = f(x_2)$ .
Orice funcție strict monotonă este injectivă (manual, p. 85).
Ramura din stânga este aceeași ca la a): $3x - 2$ este strict crescătoare și, pentru $x \le 1$ , ia valorile $(-\infty, 1]$ .
Ramura din dreapta, $mx + 2$ , este o funcție de gradul I cu coeficientul $m$ . Ea urcă pentru $m > 0$ , este constantă pentru $m = 0$ și coboară pentru $m < 0$ . Luăm cele trei cazuri pe rând.
2. Cazurile $m > 0$ și $m = 0$
$m > 0$ . Din $x > 1$ rezultă $mx > m$ , deci $mx + 2 > m + 2 > 2$ . Ramura din dreapta urcă și are valori mai mari decât $2$ , iar cea din stânga are valori cel mult $1$ .
Pentru $x_1 \le 1 < x_2$ avem $f(x_1) \le 1 < f(x_2)$ , deci $f$ este strict crescătoare pe $\mathbb R$ și injectivă.
$m = 0$ . Înlocuiește $m = 0$ în ramura din dreapta.
Verifică-te
Ce devine ramura din dreapta pentru $m = 0$ și ce urmează pentru injectivitate?
3. Cazul $m < 0$
Pentru $m < 0$ , ramura din dreapta coboară. Înmulțind $x > 1$ cu $m$ , număr negativ, sensul inegalității se schimbă.
Verifică-te
Ce valori ia $mx + 2$ pentru $x > 1$ , când $m < 0$ ?
Ramura din dreapta coboară până la $-\infty$ , deci ajunge și la valori din $(-\infty, 1]$ , pe care le ia și ramura din stânga. Să găsim o pereche pentru $m = -2$ : ramura din dreapta, $-2x + 2$ , ia valoarea $-1$ în $x = \frac32$ .
Verifică-te
În ce punct $x \le 1$ ia ramura din stânga, $3x - 2$ , tot valoarea $-1$ ?
Pentru $m = -2$ : ramura $3x - 2$ urcă până în $(1, 1)$ , ramura $-2x + 2$ coboară. $f\left(\frac13\right) = f\left(\frac32\right) = -1$ .
4. Perechea pentru orice $m < 0$ și concluzia
Aceeași idee merge pentru orice $m < 0$ . Punctul $x_2 = 1 - \frac1m$ este mai mare decât $1$ (pentru că $-\frac1m > 0$ ), iar $x_1 = \frac{m + 3}{3}$ este mai mic decât $1$ (pentru că $m < 0$ ). Ambele au imaginea $m + 1$ :
$\begin{aligned} f(x_2) &= m\left(1 - \tfrac1m\right) + 2 \\ &= m - 1 + 2 = m + 1 \\ f(x_1) &= (m + 3) - 2 \\ &= m + 1 \end{aligned}$
Pentru $m = -2$ regăsim $x_1 = \frac13$ , $x_2 = \frac32$ . Deci pentru $m < 0$ funcția nu este injectivă.
Concluzie: $f$ este injectivă doar pentru $m > 0$ . Condiția din manual, „ $m \cdot 1 + 2 \ge 1$ și $m > 0$ ”, spune același lucru: ramura din dreapta trebuie să urce și să pornească de deasupra lui $f(1) = 1$ ; pentru $m > 0$ a doua cerință este automat îndeplinită.

Răspuns

f

este injectivă exact pentru

m \in (0, +\infty)

.

c) $f(x) = \begin{cases} x^2, & x \le -1 \\ mx + 1, & x > -1 \end{cases}$

Înainte să discuți după

m

, calculează

f(-1)

și imaginea unui punct al ramurii din dreapta în care

m

„dispare”.

1. Două valori ușor de calculat
Funcție neinjectivă (manual, p. 85)
$f$ nu este injectivă dacă există $x_1 \ne x_2$ cu $f(x_1) = f(x_2)$ . O singură pereche ajunge.
Pe ramura din stânga, $f(-1) = (-1)^2 = 1$ .
Pe ramura din dreapta alegem un punct în care calculul este cât mai simplu: $x = 0$ .
Verifică-te
Cât este $f(0)$ ?
2. Ce înseamnă pentru $m$
Am găsit $f(-1) = 1$ și $f(0) = 1$ , cu $-1 \ne 0$ . Calculul nu a folosit nicio valoare anume a lui $m$ .
Verifică-te
Pentru ce valori ale lui $m$ este $f$ injectivă?
3. Pe desen și compararea strategiilor
Desenul arată două valori ale lui $m$ . Oricum ar fi înclinată, ramura din dreapta trece prin $(0, 1)$ , iar ramura din stânga se termină în $(-1, 1)$ : dreapta $y = 1$ taie graficul de două ori.
$f(-1) = f(0) = 1$ , oricare ar fi $m$ .
Strategii diferite, aceeași concluzie
O discuție pe cazuri ar merge și ea: pentru $m > 0$ ramura din dreapta urcă oricât de sus și întâlnește valorile $[1, +\infty)$ ale ramurii din stânga; pentru $m = 0$ este constantă; pentru $m < 0$ pornește de la $1 - m > 1$ și coboară trecând prin aceleași valori.
O singură pereche bine aleasă rezolvă însă toate cazurile deodată.

Răspuns

Nu există

m \in \mathbb R

pentru care

f

să fie injectivă:

f(-1) = f(0) = 1

pentru orice

m

.

d) $f(x) = \begin{cases} -2x + 1, & x \le 0 \\ -mx^2 + 1, & x > 0 \end{cases}$

Ramura din stânga coboară și ia valori cel puțin egale cu

1

. Uită-te la semnul lui

-mx^2

: el decide dacă ramura din dreapta rămâne sub

1

.

1. Ramura din stânga
Funcție injectivă (manual, p. 85)
$f$ este injectivă dacă din $f(x_1) = f(x_2)$ rezultă $x_1 = x_2$ ; nu este injectivă dacă există $x_1 \ne x_2$ cu $f(x_1) = f(x_2)$ .
Orice funcție strict monotonă este injectivă (manual, p. 85).
Ramura $-2x + 1$ are coeficientul lui $x$ negativ, deci este strict descrescătoare. Din $x \le 0$ rezultă $-2x \ge 0$ , deci $-2x + 1 \ge 1$ : ramura din stânga ia valorile $[1, +\infty)$ , cu $f(0) = 1$ .
2. Cazul $m > 0$
Pentru $x > 0$ avem $x^2 > 0$ . Înmulțim cu $-m$ și adunăm $1$ .
Verifică-te
Pentru $m > 0$ și $x > 0$ , cum este $-mx^2 + 1$ față de $1$ ?
Ramura din dreapta este și ea strict descrescătoare: dacă $0 < x_1 < x_2$ , atunci $x_1^2 < x_2^2$ , iar înmulțind cu $-m < 0$ obținem $-mx_1^2 > -mx_2^2$ .
Pentru $x_1 \le 0 < x_2$ avem $f(x_1) \ge 1 > f(x_2)$ . Deci $f$ este strict descrescătoare pe $\mathbb R$ și injectivă.
Pentru $m = 1$ graficul coboară tot timpul, fără să se întoarcă.
3. Cazul $m \le 0$
Pentru $m \le 0$ avem $-m \ge 0$ , deci $-mx^2 + 1 \ge 1$ : ramura din dreapta ia și ea valori de cel puțin $1$ , aceleași ca ramura din stânga.
Luăm $m = -2$ : ramura din dreapta este $2x^2 + 1$ și $f(1) = 3$ .
Verifică-te
În ce punct $x \le 0$ ia ramura din stânga, $-2x + 1$ , tot valoarea $3$ ?
La fel pentru orice $m \le 0$ : $f(1) = 1 - m$ , iar ramura din stânga ia valoarea $1 - m$ în $x = \frac m2 \le 0$ :
$\begin{aligned} f\left(\tfrac m2\right) &= -m + 1 = f(1), \\ \tfrac m2 &\ne 1 \end{aligned}$
Pentru $m = 0$ perechea este $f(0) = f(1) = 1$ . Deci pentru $m \le 0$ funcția nu este injectivă.
Pentru $m = -2$ : $f(-1) = f(1) = 3$ .

Răspuns

f

este injectivă exact pentru

m \in (0, +\infty)

.

e) $f(x) = \begin{cases} x, & x \le 1 \\ x^3 - 2mx + 2, & x > 1 \end{cases}$

Ramura din stânga urcă până la

f(1) = 1

. Vezi de unde „pornește” ramura din dreapta (formula ei în

x = 1

) și compară cu

1

.

1. De unde pornește ramura din dreapta
Funcție injectivă (manual, p. 85)
$f$ este injectivă dacă din $f(x_1) = f(x_2)$ rezultă $x_1 = x_2$ ; nu este injectivă dacă există $x_1 \ne x_2$ cu $f(x_1) = f(x_2)$ .
Orice funcție strict monotonă este injectivă (manual, p. 85).
Ramura din stânga, $f(x) = x$ pentru $x \le 1$ , este strict crescătoare și ia toate valorile din $(-\infty, 1]$ .
Ca la a), $f$ va fi injectivă dacă ramura din dreapta urcă și rămâne deasupra lui $1$ . Uită-te întâi la formula ei în $x = 1$ : este valoarea de la care pornește (fără s-o atingă, pentru că $1$ nu este pe această ramură).
Verifică-te
Cât este $x^3 - 2mx + 2$ pentru $x = 1$ ?
2. Dacă $m > 1$ : o pereche cu aceeași imagine
Pentru $m > 1$ avem $3 - 2m < 1$ : ramura din dreapta pornește de sub $1$ , printre valorile ramurii din stânga. Încercăm $m = 4$ , când ramura este $x^3 - 8x + 2$ .
Verifică-te
Pentru $m = 4$ , cât este $f(2)$ ?
Pentru $m = 4$ (ramura din dreapta este $x^3 - 8x + 2$ ): dreapta $y = -6$ dă $f(-6) = f(2) = -6$ .
Pentru orice $m > 1$ merge punctul $x_2 = \sqrt m > 1$ :
$\begin{aligned} f(\sqrt m) &= m\sqrt m - 2m\sqrt m \\ &\quad + 2 \\ &= 2 - m\sqrt m \end{aligned}$
Cum $m\sqrt m > 1$ , numărul $x_1 = 2 - m\sqrt m$ este mai mic decât $1$ , deci $f(x_1) = x_1 = f(\sqrt m)$ , cu $x_1 < 1 < \sqrt m$ . Pentru $m = 4$ regăsim $x_1 = -6$ , $x_2 = 2$ . Deci pentru $m > 1$ funcția nu este injectivă.
3. Dacă $m \le 1$ : ramura din dreapta urcă
Raportul de variație (manual, p. 70)
Dacă raportul $R_f(x_1, x_2) = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}$ este pozitiv pentru orice $x_1 \ne x_2$ din domeniu, $f$ este strict crescătoare.
Pentru ramura din dreapta, $+2$ se reduce, iar $x_1^3 - x_2^3 = (x_1 - x_2)(x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2)$ (din gimnaziu; vezi și problema rezolvată 3, p. 72).
Verifică-te
Fie $g(x) = x^3 - 2mx + 2$ , ramura din dreapta. Cât este raportul $\dfrac{g(x_1) - g(x_2)}{x_1 - x_2}$ ?
Pentru $x_1, x_2 > 1$ avem $x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2 > 1 + 1 + 1 = 3$ , iar pentru $m \le 1$ avem $2m \le 2$ . Deci raportul este pozitiv și ramura din dreapta este strict crescătoare.
4. Dacă $m \le 1$ : ramura din dreapta rămâne deasupra lui $1$
Pentru $x > 1$ și $m \le 1$ avem $-2mx \ge -2x$ (înmulțim $m \le 1$ cu $-2x < 0$ ). Deci:
$\begin{aligned} f(x) - 1 &= x^3 - 2mx + 1 \\ &\ge x^3 - 2x + 1 \end{aligned}$
Numărul $1$ anulează $x^3 - 2x + 1$ , deci expresia se împarte exact la $x - 1$ .
Verifică-te
$x^3 - 2x + 1 = (x - 1) \cdot (\ldots)$ . Ce este în paranteză?
Deci $f(x) > 1$ pentru orice $x > 1$ . Pentru $x_1 \le 1 < x_2$ : $f(x_1) \le 1 < f(x_2)$ . Ambele ramuri fiind strict crescătoare, $f$ este strict crescătoare pe $\mathbb R$ , deci injectivă.
Pentru $m = 1$ , ramura din dreapta pornește chiar din $(1, 1)$ și graficul urcă tot timpul:
Pentru $m = 1$ : $y = x$ până în $(1, 1)$ , apoi ramura $x^3 - 2x + 2$ . Graficul urcă tot timpul.

Răspuns

f

este injectivă exact pentru

m \in (-\infty, 1]

.

Exercițiul 7 · Injectivitate cu parametrul mmm

a)f(x)={3x−2,x≤12x+m,x>1f(x) = \begin{cases} 3x - 2, & x \le 1 \\ 2x + m, & x > 1 \end{cases}f(x)={3x−2,2x+m,​x≤1x>1​

1. Unde pot apărea două valori egale ✓

2. Valorile fiecărei ramuri ✓

3. Când ramurile nu se ating ✓

4. Când ramurile se suprapun ✓

b)f(x)={3x−2,x≤1mx+2,x>1f(x) = \begin{cases} 3x - 2, & x \le 1 \\ mx + 2, & x > 1 \end{cases}f(x)={3x−2,mx+2,​x≤1x>1​

1. Ce știm deja și ce depinde de mmm ✓

2. Cazurile m>0m > 0m>0 și m=0m = 0m=0 ✓

3. Cazul m<0m < 0m<0 ✓

4. Perechea pentru orice m<0m < 0m<0 și concluzia ✓

c)f(x)={x2,x≤−1mx+1,x>−1f(x) = \begin{cases} x^2, & x \le -1 \\ mx + 1, & x > -1 \end{cases}f(x)={x2,mx+1,​x≤−1x>−1​

1. Două valori ușor de calculat ✓

2. Ce înseamnă pentru mmm ✓

3. Pe desen și compararea strategiilor ✓

d)f(x)={−2x+1,x≤0−mx2+1,x>0f(x) = \begin{cases} -2x + 1, & x \le 0 \\ -mx^2 + 1, & x > 0 \end{cases}f(x)={−2x+1,−mx2+1,​x≤0x>0​

1. Ramura din stânga ✓

2. Cazul m>0m > 0m>0 ✓

3. Cazul m≤0m \le 0m≤0 ✓

e)f(x)={x,x≤1x3−2mx+2,x>1f(x) = \begin{cases} x, & x \le 1 \\ x^3 - 2mx + 2, & x > 1 \end{cases}f(x)={x,x3−2mx+2,​x≤1x>1​

1. De unde pornește ramura din dreapta ✓

2. Dacă m>1m > 1m>1: o pereche cu aceeași imagine ✓

3. Dacă m≤1m \le 1m≤1: ramura din dreapta urcă ✓

4. Dacă m≤1m \le 1m≤1: ramura din dreapta rămâne deasupra lui 111 ✓

Exercițiul 7 · Injectivitate cu parametrul $m$

a) $f(x) = \begin{cases} 3x - 2, & x \le 1 \\ 2x + m, & x > 1 \end{cases}$

1. Unde pot apărea două valori egale

2. Valorile fiecărei ramuri

3. Când ramurile nu se ating

4. Când ramurile se suprapun

b) $f(x) = \begin{cases} 3x - 2, & x \le 1 \\ mx + 2, & x > 1 \end{cases}$

1. Ce știm deja și ce depinde de $m$

2. Cazurile $m > 0$ și $m = 0$

3. Cazul $m < 0$

4. Perechea pentru orice $m < 0$ și concluzia

c) $f(x) = \begin{cases} x^2, & x \le -1 \\ mx + 1, & x > -1 \end{cases}$

1. Două valori ușor de calculat

2. Ce înseamnă pentru $m$

3. Pe desen și compararea strategiilor

d) $f(x) = \begin{cases} -2x + 1, & x \le 0 \\ -mx^2 + 1, & x > 0 \end{cases}$

1. Ramura din stânga

2. Cazul $m > 0$

3. Cazul $m \le 0$

e) $f(x) = \begin{cases} x, & x \le 1 \\ x^3 - 2mx + 2, & x > 1 \end{cases}$

1. De unde pornește ramura din dreapta

2. Dacă $m > 1$ : o pereche cu aceeași imagine

3. Dacă $m \le 1$ : ramura din dreapta urcă

4. Dacă $m \le 1$ : ramura din dreapta rămâne deasupra lui $1$