Manual · pagina 89

Exercițiul 8 · Monotonie și injectivitate, validate pe grafic

Studiază monotonia și injectivitatea funcțiilor și validează concluziile tale, folosind reprezentarea grafică a acestora cu ajutorul unei aplicații digitale:

a) $f : \mathbb R^* \to \mathbb R$ , $f(x) = \dfrac1x$ ;

b) $f : \mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = x^2$ ;

c) $f : \mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = 1 + [x]$ ;

d) $f : \mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = \begin{cases} x + 1, & x \le 0 \\ 2, & x \in (0, 1) \\ x + 3, & x \ge 1 \end{cases}$ ;

e) $f : \mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x + 6, & x \le 2 \\ -x^2 + 4x - 2, & x > 2 \end{cases}$ .

a) $f : \mathbb R^* \to \mathbb R$ , $f(x) = \dfrac1x$

Domeniul are două bucăți,

(-\infty, 0)

și

(0, +\infty)

. Studiază monotonia pe fiecare, apoi compară un punct negativ cu unul pozitiv.

1. Monotonia pe fiecare interval
Monotonie (manual, p. 70)
$f$ este strict crescătoare pe $D$ dacă $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$ și strict descrescătoare dacă $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$ , pentru orice $x_1, x_2 \in D$ .
Dacă în loc de $<$ , $>$ avem $\le$ , $\ge$ , spunem crescătoare, respectiv descrescătoare. O funcție care nu este nici crescătoare, nici descrescătoare pe $D$ este nemonotonă.
Pentru $x_1 < x_2$ , ambele nenule, scădem cu numitor comun:
$f(x_1) - f(x_2) = \frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 - x_1}{x_1 x_2}$
Numărătorul $x_2 - x_1$ este pozitiv. Dacă $0 < x_1 < x_2$ , și numitorul este pozitiv, deci $f(x_1) > f(x_2)$ : $f$ este strict descrescătoare pe $(0, +\infty)$ .
Verifică-te
Dacă $x_1 < x_2 < 0$ , ce semn are $\dfrac{x_2 - x_1}{x_1 x_2}$ ?
2. Și pe tot domeniul?
Descrescătoare pe fiecare bucată nu înseamnă descrescătoare pe $\mathbb R^*$ . Compară un punct negativ cu unul pozitiv, de exemplu $-1 < 1$ .
Verifică-te
Este $f$ strict descrescătoare pe $\mathbb R^*$ ?
3. Injectivitatea
Funcție injectivă (manual, p. 85)
$f$ este injectivă dacă din $f(x_1) = f(x_2)$ rezultă $x_1 = x_2$ .
Pe grafic: orice dreaptă orizontală intersectează graficul în cel mult un punct.
Presupunem $\frac{1}{x_1} = \frac{1}{x_2}$ . Înmulțind cu $x_1 x_2 \ne 0$ obținem $x_2 = x_1$ . Deci $f$ este injectivă, deși nu este monotonă pe $\mathbb R^*$ : manualul avertizează că reciproca proprietății „strict monotonă ⇒ injectivă” nu este adevărată (p. 85).
Verificăm pe grafic cu dreapta $y = 2$ .
Verifică-te
Câte puncte comune are dreapta $y = 2$ cu graficul lui $f$ ?
Fiecare ramură coboară; o dreaptă orizontală taie graficul cel mult o dată ( $y = 0$ deloc).

Răspuns

f

este strict descrescătoare pe

(-\infty, 0)

și pe

(0, +\infty)

, dar nu este monotonă pe

\mathbb R^*

f

este injectivă.

b) $f : \mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = x^2$

[0, +\infty)

numărul mai mare are pătratul mai mare. Ce se întâmplă pentru numere negative? Gândește-te la

x

și

-x

1. Monotonia
Monotonie (manual, p. 70)
$f$ este strict crescătoare pe $D$ dacă $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$ și strict descrescătoare dacă $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$ , pentru orice $x_1, x_2 \in D$ .
Pentru $0 \le x_1 < x_2$ , înmulțind inegalități cu numere nenegative, $x_1^2 < x_2^2$ (din gimnaziu): $f$ este strict crescătoare pe $[0, +\infty)$ .
Pentru numere negative, ia de exemplu $x_1 = -3 < x_2 = -1$ .
Verifică-te
Cum sunt $f(-3)$ și $f(-1)$ ?
Deci $f$ este strict descrescătoare pe $(-\infty, 0]$ și strict crescătoare pe $[0, +\infty)$ ; pe $\mathbb R$ își schimbă monotonia, deci este nemonotonă.
2. Injectivitatea
Funcție neinjectivă (manual, p. 85)
$f$ nu este injectivă dacă există $x_1 \ne x_2$ cu $f(x_1) = f(x_2)$ . Pe grafic: o dreaptă orizontală taie graficul în cel puțin două puncte.
Avem $f(2) = 4$ . Caută alt număr cu același pătrat.
Verifică-te
Ce număr $x \ne 2$ are $f(x) = f(2)$ ?
Parabola coboară până în $O$ , apoi urcă; $y = 4$ o taie de două ori.

Răspuns

f

este strict descrescătoare pe

(-\infty, 0]

și strict crescătoare pe

[0, +\infty)

(nemonotonă pe

\mathbb R

f

nu este injectivă:

f(-2) = f(2)

c) $f : \mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = 1 + [x]$

Partea întreagă rămâne aceeași pe fiecare interval

[k, k + 1)

. Ce înseamnă asta pentru monotonie (strictă sau nu) și pentru injectivitate?

1. Câteva valori
Partea întreagă (din gimnaziu)
$[x] = k \in \mathbb Z$ înseamnă $k \le x < k + 1$ : $[x]$ este cel mai mare întreg care nu-l depășește pe $x$ . De exemplu $[2{,}7] = 2$ și $[-1{,}2] = -2$ .
Pentru $x = 0{,}5$ : $f(0{,}5) = 1 + [0{,}5] = 1 + 0 = 1$ .
Verifică-te
Cât este $f(-0{,}5)$ ?
2. Monotonia
Monotonie (manual, p. 70)
$f$ este crescătoare dacă $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \le f(x_2)$ și strict crescătoare dacă $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$ .
Dacă $x_1 < x_2$ , atunci $[x_1] \le x_1 < x_2$ , deci $[x_1]$ este un întreg care nu-l depășește pe $x_2$ ; cum $[x_2]$ este cel mai mare astfel de întreg, $[x_1] \le [x_2]$ .
Verifică-te
Ce poți spune, pentru $x_1 < x_2$ , despre $f(x_1)$ și $f(x_2)$ ?
3. Injectivitatea, pe grafic
Graficul este o „scară”: pe fiecare interval $[k, k + 1)$ este o treaptă orizontală, la înălțimea $k + 1$ . O dreaptă orizontală printr-o treaptă conține o bucată întreagă din grafic.
Verifică-te
Care pereche arată că $f$ nu este injectivă?
Treptele urcă de la stânga la dreapta (crescătoare), dar sunt orizontale (nu strict); $y = 1$ conține treapta $[0, 1)$ .

Răspuns

f

este crescătoare (monotonă), dar nu strict: este constantă pe fiecare interval

[k, k + 1)

k \in \mathbb Z

f

nu este injectivă, de exemplu

f(0{,}2) = f(0{,}7) = 1

d) $f(x) = \begin{cases} x + 1, & x \le 0 \\ 2, & x \in (0, 1) \\ x + 3, & x \ge 1 \end{cases}$

Află ce valori ia fiecare ramură. Ramurile se succed „în urcare”? Și ce face ramura din mijloc?

1. Valorile fiecărei ramuri
Stânga. Pentru $x \le 0$ : $x + 1 \le 1$ , deci valorile sunt în $(-\infty, 1]$ , cu $f(0) = 1$ .
Mijloc. Pentru $x \in (0, 1)$ : $f(x) = 2$ , mereu aceeași valoare.
Dreapta. Pentru $x \ge 1$ adunăm $3$ inegalității $x \ge 1$ .
Verifică-te
Ce valori ia $x + 3$ pentru $x \ge 1$ ?
2. Monotonia
Monotonie (manual, p. 70)
$f$ este crescătoare dacă $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \le f(x_2)$ și strict crescătoare dacă $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$ .
Fiecare ramură este crescătoare (cea din mijloc în sens larg, $2 \le 2$ ). Valorile se succed în ordine: cel mult $1$ , apoi $2$ , apoi cel puțin $4$ . Ca în problema rezolvată 1 de la p. 71, $f$ este crescătoare pe $\mathbb R$ .
Verifică-te
Este $f$ și strict crescătoare?
3. Injectivitatea, pe grafic
Funcție neinjectivă (manual, p. 85)
$f$ nu este injectivă dacă există $x_1 \ne x_2$ cu $f(x_1) = f(x_2)$ ; pe grafic, o dreaptă orizontală taie graficul în cel puțin două puncte.
Verifică-te
Care pereche de puncte are aceeași imagine?
Graficul urcă, dar are o porțiune orizontală pe $(0, 1)$ : dreapta $y = 2$ o conține în întregime.

Răspuns

f

este crescătoare pe

\mathbb R

, dar nu strict, fiind constantă pe

(0, 1)

f

nu este injectivă:

f(0{,}25) = f(0{,}5) = 2

e) $f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x + 6, & x \le 2 \\ -x^2 + 4x - 2, & x > 2 \end{cases}$

Formează pătratul

(x - 2)^2

în ambele formule. Pe fiecare ramură,

x - 2

are semn constant.

1. Formăm pătrate
Ambele ramuri conțin $x^2$ și $4x$ , iar punctul de racord este $x = 2$ . Restrângem pătratul $(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$ (din gimnaziu).
Verifică-te
$x^2 - 4x + 6 = \;?$
La fel, $-x^2 + 4x - 2 = -(x^2 - 4x + 4) + 2$ , adică $-x^2 + 4x - 2 = -(x - 2)^2 + 2$ . Deci:
$f(x) = \begin{cases} (x - 2)^2 + 2, & x \le 2 \\ -(x - 2)^2 + 2, & x > 2 \end{cases}$
2. Monotonia fiecărei ramuri
Monotonie (manual, p. 70)
$f$ este strict descrescătoare pe $D$ dacă $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$ , pentru orice $x_1, x_2 \in D$ .
Stânga. Dacă $x_1 < x_2 \le 2$ , atunci $x_1 - 2 < x_2 - 2 \le 0$ . Pentru numere negative, cel mai mic are pătratul mai mare: $(x_1 - 2)^2 > (x_2 - 2)^2$ . Deci ramura este strict descrescătoare și are valorile $[2, +\infty)$ , cu $f(2) = 2$ .
Dreapta. Dacă $2 < x_1 < x_2$ , atunci $0 < x_1 - 2 < x_2 - 2$ , deci $(x_1 - 2)^2 < (x_2 - 2)^2$ , iar cu minus în față inegalitatea se inversează: ramura este tot strict descrescătoare.
Verifică-te
Ce valori ia ramura din dreapta, $-(x - 2)^2 + 2$ , pentru $x > 2$ ?
3. Toată funcția și injectivitatea
Pentru $x_1 \le 2 < x_2$ : $f(x_1) \ge 2 > f(x_2)$ . Împreună cu monotonia ramurilor, $f$ este strict descrescătoare pe $\mathbb R$ (ca în problema rezolvată 1 de la p. 71).
Validăm pe grafic cu o dreaptă orizontală, $y = 4$ .
Verifică-te
Câte puncte comune are dreapta $y = 4$ cu graficul lui $f$ ?
O funcție strict monotonă este injectivă (manual, p. 85), deci $f$ este injectivă: orice dreaptă orizontală taie graficul cel mult o dată.
Graficul coboară tot timpul: arcul de sus se oprește în $(2, 2)$ , arcul de jos pornește de acolo în jos.

Răspuns

f

este strict descrescătoare pe

\mathbb R

, deci injectivă.

Exercițiul 8 · Monotonie și injectivitate, validate pe grafic

a)f:R∗→Rf : \mathbb R^* \to \mathbb Rf:R∗→R, f(x)=1xf(x) = \dfrac1xf(x)=x1​

1. Monotonia pe fiecare interval ✓

2. Și pe tot domeniul? ✓

3. Injectivitatea ✓

b)f:R→Rf : \mathbb R \to \mathbb Rf:R→R, f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2

1. Monotonia ✓

2. Injectivitatea ✓

c)f:R→Rf : \mathbb R \to \mathbb Rf:R→R, f(x)=1+[x]f(x) = 1 + [x]f(x)=1+[x]

1. Câteva valori ✓

2. Monotonia ✓

3. Injectivitatea, pe grafic ✓

d)f(x)={x+1,x≤02,x∈(0,1)x+3,x≥1f(x) = \begin{cases} x + 1, & x \le 0 \\ 2, & x \in (0, 1) \\ x + 3, & x \ge 1 \end{cases}f(x)=⎩⎨⎧​x+1,2,x+3,​x≤0x∈(0,1)x≥1​

1. Valorile fiecărei ramuri ✓

2. Monotonia ✓

3. Injectivitatea, pe grafic ✓

e)f(x)={x2−4x+6,x≤2−x2+4x−2,x>2f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x + 6, & x \le 2 \\ -x^2 + 4x - 2, & x > 2 \end{cases}f(x)={x2−4x+6,−x2+4x−2,​x≤2x>2​

1. Formăm pătrate ✓

2. Monotonia fiecărei ramuri ✓

3. Toată funcția și injectivitatea ✓

a) $f : \mathbb R^* \to \mathbb R$ , $f(x) = \dfrac1x$

1. Monotonia pe fiecare interval

2. Și pe tot domeniul?

3. Injectivitatea

b) $f : \mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = x^2$

1. Monotonia

2. Injectivitatea

c) $f : \mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = 1 + [x]$

1. Câteva valori

2. Monotonia

3. Injectivitatea, pe grafic

d) $f(x) = \begin{cases} x + 1, & x \le 0 \\ 2, & x \in (0, 1) \\ x + 3, & x \ge 1 \end{cases}$

1. Valorile fiecărei ramuri

2. Monotonia

3. Injectivitatea, pe grafic

e) $f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x + 6, & x \le 2 \\ -x^2 + 4x - 2, & x > 2 \end{cases}$

1. Formăm pătrate

2. Monotonia fiecărei ramuri

3. Toată funcția și injectivitatea