MateClar
← Capitol

Manual · pagina 89

Exercițiul 9 · Drona de livrare

O dronă de livrare trebuie să zboare de la zona de depozitare până la zona de livrare. Pentru siguranță, drona urcă și apoi coboară. Funcția care descrie altitudinea dronei (în metri) în funcție de timp (în minute) este dată de legea: h:[0,10]→Rh : [0, 10] \to \mathbb R, h(t)=−t2+10th(t) = -t^2 + 10t, unde t=0t = 0 semnifică momentul decolării și t=10t = 10 semnifică momentul aterizării. Operatorul dronei primește o alertă: Drona se află la înălțimea de 16 metri.

a) Demonstrează că funcția hh nu este injectivă pe intervalul [0,10][0, 10].

b) Poate operatorul să știe, doar pe baza acestei alerte, dacă drona este în faza de urcare sau de coborâre?

c) Restricționează domeniul funcției astfel încât aceasta să devină injectivă (să nu mai existe ambiguitate la interpretarea alertei).

a)Demonstrează că funcția hh nu este injectivă pe intervalul [0,10][0, 10].

Alerta îți dă o valoare: 1616. Caută toate momentele t∈[0,10]t \in [0, 10] cu h(t)=16h(t) = 16. Formează un pătrat cu t2−10tt^2 - 10t.

  1. 1. Ce trebuie arătat

    Alerta sugerează dreapta y=16y = 16: căutăm momentele în care drona este la 1616 m, adică soluțiile ecuației −t2+10t=16-t^2 + 10t = 16 din [0,10][0, 10]. Ca să o rezolvăm fără formule noi, restrângem un pătrat (din gimnaziu): (t−5)2=t2−10t+25(t - 5)^2 = t^2 - 10t + 25.

    Verifică-te

    Cum se scrie −t2+10t-t^2 + 10t cu ajutorul lui (t−5)2(t - 5)^2?

  2. 2. Momentele cu altitudinea 16 m

    25−(t−5)2=16(t−5)2=9\begin{aligned} 25 - (t - 5)^2 &= 16 \\ (t - 5)^2 &= 9 \end{aligned}

    Verifică-te

    Ce soluții are ecuația (t−5)2=9(t - 5)^2 = 9?

  3. 3. Concluzia, pe grafic

    Verificăm: h(2)=−4+20=16h(2) = -4 + 20 = 16 și h(8)=−64+80=16h(8) = -64 + 80 = 16. Momentele 2≠82 \ne 8 au aceeași imagine, deci hh nu este injectivă pe [0,10][0, 10].
    12345678910510152025Oxy
    hh
    y=16y = 16

    Altitudinea 1616 m este atinsă la t=2t = 2 și la t=8t = 8.

Răspuns
h(2)=h(8)=16h(2) = h(8) = 16, cu 2≠82 \ne 8, deci hh nu este injectivă pe [0,10][0, 10].

b)Poate operatorul să știe, doar pe baza alertei „16 metri”, dacă drona urcă sau coboară?

La a) ai găsit două momente cu altitudinea 1616 m. Ce face drona în fiecare dintre ele?

  1. 1. Când urcă și când coboară drona

    Din h(t)=25−(t−5)2h(t) = 25 - (t - 5)^2 (punctul a), altitudinea este cea mai mare când (t−5)2{(t - 5)^2} este cel mai mic.

    Verifică-te

    La ce moment drona atinge altitudinea maximă și cât este aceasta?
    Pe [0,5][0, 5] drona urcă, iar pe [5,10][5, 10] coboară (arătăm riguros la c).

  2. 2. Ce spune alerta

    La a) am găsit două momente cu altitudinea 1616 m: t=2t = 2 și t=8t = 8.

    La t=2<5t = 2 < 5 drona este în urcare, iar la t=8>5t = 8 > 5 este în coborâre. Alerta „1616 m” se potrivește cu ambele, deci operatorul nu poate ști faza de zbor doar din ea.

    12345678910510152025Oxy
    urcare
    coborâre

    Același 1616 m apare o dată la urcare (t=2t = 2) și o dată la coborâre (t=8t = 8).

Răspuns
Nu. Altitudinea de 1616 m este atinsă la t=2t = 2 (urcare) și la t=8t = 8 (coborâre), deci alerta nu arată faza de zbor.

c)Restricționează domeniul funcției astfel încât aceasta să devină injectivă.

O funcție strict monotonă este injectivă. Pe ce intervale este hh strict monotonă? Folosește h(t)=25−(t−5)2h(t) = 25 - (t - 5)^2.

  1. 1. Ideea

    Funcția hh urcă și apoi coboară, deci nu este monotonă pe [0,10][0, 10]. Dacă păstrăm doar o bucată de domeniu pe care merge într-un singur sens, devine injectivă.

    Verifică-te

    Ar merge restricția la [0,6][0, 6]?

  2. 2. Cele două restricții

    Pe [0,5][0, 5]. Dacă 0≤t1<t2≤50 \le t_1 < t_2 \le 5, atunci t1−5<t2−5≤0t_1 - 5 < t_2 - 5 \le 0, deci (t1−5)2>(t2−5)2{(t_1 - 5)^2} > {(t_2 - 5)^2} și h(t1)=25−(t1−5)2<h(t2){h(t_1)} = {25 - (t_1 - 5)^2} < {h(t_2)}. Restricția este strict crescătoare (faza de urcare), deci injectivă.

    Pe [5,10][5, 10]. Dacă 5≤t1<t2≤105 \le t_1 < t_2 \le 10, atunci 0≤t1−5<t2−50 \le t_1 - 5 < t_2 - 5, deci (t1−5)2<(t2−5)2{(t_1 - 5)^2} < {(t_2 - 5)^2} și h(t1)>h(t2)h(t_1) > h(t_2). Restricția este strict descrescătoare (faza de coborâre), deci injectivă.

    12345678910510152025Oxy
    [0,5][0, 5]
    [5,10][5, 10]

    Pe fiecare jumătate, orice dreaptă orizontală taie arcul cel mult o dată.

    Pentru restricția la [0,5][0, 5], alerta „1616 m” înseamnă doar t=2t = 2; pentru [5,10][5, 10], doar t=8t = 8. Merge și orice interval mai mic, inclus în unul dintre ele; [0,5][0, 5] și [5,10][5, 10] sunt cele mai mari.
Răspuns
hh devine injectivă dacă restrângem domeniul la [0,5][0, 5] (urcarea) sau la [5,10][5, 10] (coborârea), ori la un interval inclus în unul dintre ele.