MateClar
← Capitol

Manual · pagina 99

Exercițiul 1 · Este 4x+14x + 1 inversabilă?

Verifică dacă funcția f ⁣:R→Rf\colon \mathbb R \to \mathbb R, f(x)=4x+1f(x) = 4x + 1 este inversabilă.

Verifică dacă funcția f ⁣:R→Rf\colon \mathbb R \to \mathbb R, f(x)=4x+1f(x) = 4x + 1 este inversabilă.

O funcție este inversabilă exact când este bijectivă. Rezolvă ecuația 4x+1=y4x + 1 = y pentru un yy oarecare: câte soluții are?

  1. 1. Ce înseamnă inversabilă

    Deci întrebarea devine: pentru un y∈Ry \in \mathbb R oarecare, câte soluții are ecuația 4x+1=y4x + 1 = y? Scazi 11, apoi împarți la 44.

    Verifică-te

    Ce soluție are ecuația 4x+1=y4x + 1 = y?

  2. 2. Bijectivă, deci inversabilă

    Pentru fiecare y∈Ry \in \mathbb R, ecuația are soluția x=y−14x = \frac{y - 1}{4}, care există mereu (împărțim la 4≠04 \ne 0), e număr real și e singura. Deci ff este bijectivă, adică inversabilă.

    Inversa duce fiecare yy înapoi în soluția lui: f−1(y)=y−14f^{-1}(y) = \frac{y - 1}{4}. Cu litera obișnuită xx pentru variabilă:

    f−1 ⁣:R→R,f−1(x)=x−14\begin{aligned} & f^{-1}\colon \mathbb R \to \mathbb R, \\ & f^{-1}(x) = \dfrac{x - 1}{4} \end{aligned}

    Verifică-te

    Cât este f−1(−7)f^{-1}(-7)?

  3. 3. Pe grafic

    Graficele lui ff și f−1f^{-1} sunt simetrice față de dreapta y=xy = x (manual, p. 97): punctul (1,5)(1, 5) al lui ff devine punctul (5,1)(5, 1) al lui f−1f^{-1}.
    −3−2−1123456−3−2−1123456Oxy
    y=xy = x
    ff
    f−1f^{-1}
    (1,5)(1, 5)
    (5,1)(5, 1)

    Dreapta ff urcă repede (panta 44), inversa ei urcă încet (panta 14\frac14). Fiecare punct (a,b)(a, b) al lui ff are oglinda (b,a)(b, a) pe f−1f^{-1}.

    Verificare prin compunere: f(f−1(x))=4⋅x−14+1=xf\left(f^{-1}(x)\right) = 4 \cdot \frac{x - 1}{4} + 1 = x și f−1(f(x))=4x+1−14=xf^{-1}\left(f(x)\right) = \frac{4x + 1 - 1}{4} = x.
Răspuns
Da, ff este inversabilă (este bijectivă), iar f−1 ⁣:R→Rf^{-1}\colon \mathbb R \to \mathbb R, f−1(x)=x−14f^{-1}(x) = \dfrac{x - 1}{4}.