Manual · pagina 99

Exercițiul 10 · O bijecție de gradul I

Determină funcția de gradul I, știind că

f:[0, 1] \to [1, 4]

și că este bijectivă.

Determină funcția de gradul I, știind că $f:[0, 1] \to [1, 4]$ și că este bijectivă.

O funcție de gradul I este strict crescătoare sau strict descrescătoare. Unde trebuie să ajungă capetele

0

și

1

ale domeniului, ca imaginea să fie exact intervalul

[1, 4]

1. Ce căutăm
O funcție de gradul I are legea $f(x) = ax + b$ , cu $a \ne 0$ . Trebuie să aflăm numerele $a$ și $b$ .
Condiția pusă este ca $f$ să fie bijectivă de la $[0, 1]$ la $[1, 4]$ .
Funcție bijectivă (manual, p. 94)
O funcție $f:A \to B$ este bijectivă dacă este injectivă și surjectivă: fiecare element din $B$ este imaginea unui singur element din $A$ . În particular, imaginea lui $f$ este tot codomeniul $B$ .
Deci valorile lui $f$ pe $[0, 1]$ trebuie să umple exact intervalul $[1, 4]$ , nici mai mult, nici mai puțin.
2. Capetele domeniului merg în capetele codomeniului
Dreapta $y = ax + b$ urcă dacă $a > 0$ și coboară dacă $a < 0$ . Pe intervalul $[0, 1]$ , valorile lui $f$ sunt deci toate numerele dintre $f(0)$ și $f(1)$ : cea mai mică într-un capăt, cea mai mare în celălalt.
Ca această mulțime să fie $[1, 4]$ , valorile $f(0)$ și $f(1)$ trebuie să fie numerele $1$ și $4$ , într-o ordine sau în cealaltă. Apar două cazuri, după semnul lui $a$ .
Verifică-te
Dacă $a > 0$ (funcția urcă), cât trebuie să fie $f(0)$ ?
3. Cazul $a > 0$
Avem $f(0) = 1$ și $f(1) = 4$ . Înlocuim în $f(x) = ax + b$ :
$\begin{aligned} f(0) &= b = 1, \\ f(1) &= a + b = 4 \;\Rightarrow\; a = 3. \end{aligned}$
Obținem $f_1(x) = 3x + 1$ . Verificăm că este într-adevăr bijectivă de la $[0, 1]$ la $[1, 4]$ , cu teorema de la p. 94: ecuația $3x + 1 = y$ are, pentru orice $y \in [1, 4]$ , soluția unică $x = \dfrac{y - 1}{3}$ .
Din $1 \le y \le 4$ rezultă $0 \le x \le 1$ , deci $x$ este în domeniu.
4. Cazul $a < 0$
Acum funcția coboară: în $x = 0$ are valoarea cea mai mare, iar în $x = 1$ pe cea mai mică. Deci $f(0) = 4$ și $f(1) = 1$ .
Verifică-te
Ce lege obții în acest caz?
Verificarea este la fel: $-3x + 4 = y$ dă soluția unică $x = \dfrac{4 - y}{3}$ , care pentru $y \in [1, 4]$ este în $[0, 1]$ .
Ambele segmente pleacă de deasupra lui $[0, 1]$ și acoperă exact $[1, 4]$ pe $Oy$ : unul urcă, celălalt coboară.

Răspuns

Există două funcții:

f_1(x) = 3x + 1

(crescătoare) și

f_2(x) = -3x + 4

(descrescătoare).

Exercițiul 10 · O bijecție de gradul I

Determină funcția de gradul I, știind că f:[0,1]→[1,4]f:[0, 1] \to [1, 4]f:[0,1]→[1,4] și că este bijectivă.

1. Ce căutăm ✓

2. Capetele domeniului merg în capetele codomeniului ✓

3. Cazul a>0a > 0a>0 ✓

4. Cazul a<0a < 0a<0 ✓

Determină funcția de gradul I, știind că $f:[0, 1] \to [1, 4]$ și că este bijectivă.

1. Ce căutăm

2. Capetele domeniului merg în capetele codomeniului

3. Cazul $a > 0$

4. Cazul $a < 0$