MateClar
← Capitol

Manual · pagina 99

Exercițiul 11 · Inversa unei compuneri

Demonstrează că dacă ff și gg sunt bijective, atunci (g∘f)−1=f−1∘g−1(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}.

Demonstrează că dacă ff și gg sunt bijective, atunci (g∘f)−1=f−1∘g−1(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}.

Nu e nevoie de nicio formulă. Arată că f−1∘g−1f^{-1} \circ g^{-1}, compusă cu g∘fg \circ f în ambele ordini, dă funcția identică. Ce se întâmplă când g−1g^{-1} ajunge lângă gg?

  1. 1. Ce trebuie arătat

    Ca să existe compunerea g∘fg \circ f, codomeniul lui ff trebuie să fie domeniul lui gg. Luăm deci f:A→Bf:A \to B și g:B→Cg:B \to C, ambele bijective. Atunci g∘f:A→Cg \circ f:A \to C.
    Cum ff și gg sunt bijective, există f−1:B→Af^{-1}:B \to A și g−1:C→Bg^{-1}:C \to B. Vom arăta că funcția h=f−1∘g−1h = f^{-1} \circ g^{-1} îndeplinește cele două condiții din definiție pentru g∘fg \circ f. Fiindcă inversa este unică, va rezulta (g∘f)−1=h(g \circ f)^{-1} = h.

    Verifică-te

    Între ce mulțimi merge h=f−1∘g−1h = f^{-1} \circ g^{-1}?

  2. 2. Ideea, pe un desen

    Un exemplu mic, cu A={1,2,3}A = \{1, 2, 3\}, B={a,b,c}B = \{a, b, c\}, C={p,q,r}C = \{p, q, r\}. Mai întâi ff, apoi gg:
    AA
    BB
    CC
    ff
    gg
    11
    22
    33
    aa
    bb
    cc
    pp
    qq
    rr

    Întâi ff, de la AA la BB, apoi gg, de la BB la CC. Ambele sunt bijective: fiecare element primește exact o săgeată.

    Ca să mergi înapoi de la un element din CC, desfaci pașii în ordine inversă: întâi ultimul făcut (gg), apoi primul (ff). Ca la încălțăminte: pui șoseta, apoi pantoful, dar le scoți în ordinea opusă.

    Verifică-te

    Cine este (g∘f)−1(q)(g \circ f)^{-1}(q)?

  3. 3. Prima condiție: h∘(g∘f)=1Ah \circ (g \circ f) = 1_A

    Mutăm parantezele, ca g−1g^{-1} să ajungă lângă gg:
    h∘(g∘f)=(f−1∘g−1)∘(g∘f)=f−1∘(g−1∘g)∘f\begin{aligned} &h \circ (g \circ f) \\ &\quad = (f^{-1} \circ g^{-1}) \circ (g \circ f) \\ &\quad = f^{-1} \circ (g^{-1} \circ g) \circ f \end{aligned}

    Verifică-te

    Cu ce este egală g−1∘gg^{-1} \circ g?
    Continuăm, folosind că funcția identică nu schimbă nimic și apoi definiția lui f−1f^{-1}:
    h∘(g∘f)=f−1∘1B∘f=f−1∘f=1A\begin{aligned} h \circ (g \circ f) &= f^{-1} \circ 1_B \circ f \\ &= f^{-1} \circ f = 1_A \end{aligned}

  4. 4. A doua condiție și concluzia

    La fel, în cealaltă ordine ff ajunge lângă f−1f^{-1}:
    (g∘f)∘h=g∘(f∘f−1)∘g−1=g∘1B∘g−1=g∘g−1=1C\begin{aligned} &(g \circ f) \circ h \\ &\quad = g \circ (f \circ f^{-1}) \circ g^{-1} \\ &\quad = g \circ 1_B \circ g^{-1} \\ &\quad = g \circ g^{-1} = 1_C \end{aligned}
    Funcția h:C→Ah:C \to A verifică h∘(g∘f)=1Ah \circ (g \circ f) = 1_A și (g∘f)∘h=1C(g \circ f) \circ h = 1_C. Conform definiției (manual, p. 97), g∘fg \circ f este inversabilă, iar inversa ei, care este unică, este hh:
    (g∘f)−1=f−1∘g−1(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}

  5. 5. Verificare pe un exemplu numeric

    Fie f,g:R→Rf, g:\mathbb R \to \mathbb R, f(x)=x+1f(x) = x + 1 și g(x)=2xg(x) = 2x. Atunci (g∘f)(x)=2(x+1)=2x+2(g \circ f)(x) = 2(x + 1) = 2x + 2.

    Inversele sunt f−1(x)=x−1f^{-1}(x) = x - 1 și g−1(x)=x2g^{-1}(x) = \dfrac{x}{2}: „scade 11” desface „adună 11”, „împarte la 22” desface „înmulțește cu 22”.

    Verifică-te

    Cât este (f−1∘g−1)(4)=f−1(g−1(4))(f^{-1} \circ g^{-1})(4) = f^{-1}\left(g^{-1}(4)\right)?
Răspuns
Cu f:A→Bf:A \to B, g:B→Cg:B \to C bijective, funcția h=f−1∘g−1h = f^{-1} \circ g^{-1} verifică h∘(g∘f)=1Ah \circ (g \circ f) = 1_A și (g∘f)∘h=1C(g \circ f) \circ h = 1_C, deci (g∘f)−1=f−1∘g−1(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}.