MateClar
← Capitol

Manual · pagina 99

Exercițiul 12 · Graficul lui ff și al inversei

Reprezintă grafic funcția de lege f(x)=x2−1f(x) = x^2 - 1 pe [0,∞)[0, \infty) și inversa sa.

Reprezintă grafic funcția de lege f(x)=x2−1f(x) = x^2 - 1 pe [0,∞)[0, \infty) și inversa sa.

Ca să aibă inversă, ff trebuie să fie bijectivă: alege drept codomeniu exact mulțimea valorilor ei. Graficul inversei se obține din graficul lui ff prin simetrie față de dreapta y=xy = x.

  1. 1. Pe ce mulțime ia ff valori

    Domeniul este [0,∞)[0, \infty), dar enunțul nu dă codomeniul. O funcție are inversă doar dacă este bijectivă (manual, p. 97), deci alegem drept codomeniu exact mulțimea valorilor lui ff: astfel nu rămâne nicio valoare neatinsă.

    Verifică-te

    Ce mulțime de valori ia f(x)=x2−1f(x) = x^2 - 1 pentru x∈[0,∞)x \in [0, \infty)?

  2. 2. f:[0,∞)→[−1,∞)f:[0, \infty) \to [-1, \infty) este bijectivă

    Injectivă: dacă x12−1=x22−1x_1^2 - 1 = x_2^2 - 1 cu x1,x2≥0x_1, x_2 \ge 0, atunci x12=x22x_1^2 = x_2^2. Două numere nenegative cu același pătrat sunt egale, deci x1=x2x_1 = x_2.

    Surjectivă: pentru orice y≥−1y \ge -1, ecuația f(x)=yf(x) = y trebuie să aibă o soluție x≥0x \ge 0. O găsim chiar acum, calculând inversa.

    x2−1=y  ⇒  x2=y+1x^2 - 1 = y \;\Rightarrow\; x^2 = y + 1

    Verifică-te

    Ce xx obții, știind că x≥0x \ge 0?
    Soluția există pentru orice y≥−1y \ge -1 și este unică, deci ff este bijectivă (manual, p. 94), adică inversabilă. Redenumind variabila, inversa este f−1:[−1,∞)→[0,∞)f^{-1}:[-1, \infty) \to [0, \infty), f−1(x)=x+1f^{-1}(x) = \sqrt{x + 1}.

  3. 3. Puncte simetrice față de y=xy = x

    xxf(x)=x2−1f(x) = x^2 - 1
    00−1-1
    1100
    2233

    Verifică-te

    Punctul (2,3)(2, 3) este pe graficul lui ff. Ce punct este, corespunzător, pe graficul lui f−1f^{-1}?

  4. 4. Cele două grafice

    Desenăm ramura de parabolă ff prin (0,−1)(0, -1), (1,0)(1, 0), (2,3)(2, 3) și oglindim fiecare punct față de dreapta y=xy = x: (−1,0)(-1, 0), (0,1)(0, 1), (3,2)(3, 2) sunt pe graficul lui f−1f^{-1}.
    −2−11234−2−11234Oxy
    y=xy = x
    ff
    f−1f^{-1}
    (2,3)(2, 3)
    (3,2)(3, 2)

    Graficul lui f−1f^{-1} este imaginea în oglindă a graficului lui ff față de dreapta punctată y=xy = x.

Răspuns
f:[0,∞)→[−1,∞)f:[0, \infty) \to [-1, \infty) este bijectivă, cu inversa f−1:[−1,∞)→[0,∞)f^{-1}:[-1, \infty) \to [0, \infty), f−1(x)=x+1f^{-1}(x) = \sqrt{x + 1}. Graficul lui f−1f^{-1} este simetricul graficului lui ff față de dreapta y=xy = x.