MateClar
← Capitol

Manual · pagina 99

Exercițiul 13 · O funcție pe ramuri inversabilă

Verifică inversabilitatea pentru

f:R→R,f(x)={2x−1,x≤2x+1,x>2f:\mathbb R \to \mathbb R, \quad f(x) = \begin{cases} 2x - 1, & x \le 2 \\ x + 1, & x > 2 \end{cases}

Verifică inversabilitatea pentru f:R→Rf:\mathbb R \to \mathbb R, f(x)={2x−1,x≤2x+1,x>2f(x) = \begin{cases} 2x - 1, & x \le 2 \\ x + 1, & x > 2 \end{cases}.

Află ce valori ia fiecare ramură. Dacă cele două mulțimi de valori nu se suprapun și împreună dau tot R\mathbb R, funcția este bijectivă.

  1. 1. Ce trebuie verificat

    Pentru o funcție pe ramuri, lucrăm cu mulțimea de valori a fiecărei ramuri. Prima ramură: pentru x≤2x \le 2 avem 2x≤42x \le 4, deci 2x−1≤32x - 1 \le 3. Ea ia toate valorile din (−∞,3](-\infty, 3], inclusiv 3=f(2)3 = f(2).

    Verifică-te

    Ce valori ia a doua ramură, x+1x + 1 pentru x>2x > 2?

  2. 2. Injectivă și surjectivă

    Ramurile au mulțimile de valori (−∞,3](-\infty, 3] și (3,∞)(3, \infty).

    Injectivă: fiecare ramură este strict crescătoare, deci pe aceeași ramură două numere diferite au imagini diferite (manual, p. 85). Pe ramuri diferite, imaginile sunt într-o mulțime, respectiv în cealaltă, care nu au niciun element comun.

    Surjectivă: cele două mulțimi împreună dau (−∞,3]∪(3,∞)=R(-\infty, 3] \cup (3, \infty) = \mathbb R, tot codomeniul.

    Deci ff este bijectivă, adică inversabilă.

    −2−112345−3−2−1123456Oxy
    2x−12x - 1
    x+1x + 1

    Ramura stângă acoperă OyOy până la 33 inclusiv (colorat), cea dreaptă de deasupra lui 33. Orice dreaptă orizontală taie graficul exact o dată.

  3. 3. Inversa, ramură cu ramură

    Rezolvăm f(x)=yf(x) = y (manual, p. 97). Ramura pe care se află soluția o alegem după yy, nu după xx: valorile y≤3y \le 3 vin din prima ramură, iar valorile y>3y > 3 din a doua.

    Verifică-te

    Pentru ce xx avem f(x)=5f(x) = 5?
    În general: pentru y≤3y \le 3, din 2x−1=y2x - 1 = y obținem x=y+12≤2x = \dfrac{y + 1}{2} \le 2; pentru y>3y > 3, din x+1=yx + 1 = y obținem x=y−1>2x = y - 1 > 2. Redenumind variabila:
    f−1(x)={x+12,x≤3x−1,x>3f^{-1}(x) = \begin{cases} \dfrac{x + 1}{2}, & x \le 3 \\[6pt] x - 1, & x > 3 \end{cases}
Răspuns
ff este bijectivă, deci inversabilă, cu f−1:R→Rf^{-1}:\mathbb R \to \mathbb R, f−1(x)=x+12f^{-1}(x) = \dfrac{x + 1}{2} pentru x≤3x \le 3 și f−1(x)=x−1f^{-1}(x) = x - 1 pentru x>3x > 3.