MateClar
← Capitol

Manual · pagina 99

Exercițiul 14 · Compuneri egale cu funcția identică

a) Se consideră funcțiile f:R→Rf:\mathbb R \to \mathbb R, f(x)=3x−1f(x) = 3x - 1 și g:R→Rg:\mathbb R \to \mathbb R, g(x)=x+13g(x) = \dfrac{x + 1}{3}. Calculează f∘gf \circ g și g∘fg \circ f. Sunt funcțiile ff și gg inversabile?

b) Fie f:N→Nf:\mathbb N \to \mathbb N, f(n)={n−1,daca˘ n este imparn+1,daca˘ n este parf(n) = \begin{cases} n - 1, & \text{dacă } n \text{ este impar} \\ n + 1, & \text{dacă } n \text{ este par} \end{cases}. Calculează f∘ff \circ f și justifică faptul că ff este inversabilă. Care este inversa sa?

a)f(x)=3x−1f(x) = 3x - 1, g(x)=x+13g(x) = \dfrac{x + 1}{3}, ambele de la R\mathbb R la R\mathbb R. Calculează f∘gf \circ g și g∘fg \circ f. Sunt ff și gg inversabile?

În (f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x)) înlocuiește xx din legea lui ff cu toată expresia lui g(x)g(x). Apoi compară rezultatele cu definiția funcției inversabile.

  1. 1. f∘gf \circ g

    Înlocuim xx din f(x)=3x−1f(x) = 3x - 1 cu g(x)=x+13g(x) = \dfrac{x + 1}{3}:
    (f∘g)(x)=3⋅x+13−1(f \circ g)(x) = 3 \cdot \frac{x + 1}{3} - 1

    Verifică-te

    Cât este (f∘g)(x)(f \circ g)(x) după simplificare?

  2. 2. g∘fg \circ f

    Acum se aplică întâi ff, apoi gg. Înlocuim xx din legea lui gg cu f(x)=3x−1f(x) = 3x - 1:
    (g∘f)(x)=(3x−1)+13(g \circ f)(x) = \frac{(3x - 1) + 1}{3}

    Verifică-te

    Cât este (g∘f)(x)(g \circ f)(x)?

  3. 3. Concluzia

    Am obținut (g∘f)(x)=x(g \circ f)(x) = x și (f∘g)(x)=x(f \circ g)(x) = x pentru orice x∈Rx \in \mathbb R, adică g∘f=1Rg \circ f = 1_{\mathbb R} și f∘g=1Rf \circ g = 1_{\mathbb R}.

    Cele două egalități sunt exact condițiile din definiție. Deci ff este inversabilă și f−1=gf^{-1} = g. Citite invers, aceleași egalități arată că și gg este inversabilă, cu g−1=fg^{-1} = f: cele două funcții sunt inverse una pentru cealaltă.

    Se potrivește și cu calculul direct: din 3x−1=y3x - 1 = y rezultă x=y+13x = \dfrac{y + 1}{3}, adică exact legea lui gg.

    −3−2−11234−3−2−11234Oxy
    y=xy = x
    ff
    gg
    (1,2)(1, 2)
    (2,1)(2, 1)

    Graficele lui ff și gg sunt simetrice față de y=xy = x, ca orice funcție și inversa ei.

Răspuns
(f∘g)(x)=x(f \circ g)(x) = x și (g∘f)(x)=x(g \circ f)(x) = x pentru orice x∈Rx \in \mathbb R. Deci ff și gg sunt inversabile și inverse una pentru cealaltă: f−1=gf^{-1} = g, g−1=fg^{-1} = f.

b)f:N→Nf:\mathbb N \to \mathbb N, f(n)={n−1,n imparn+1,n parf(n) = \begin{cases} n - 1, & n \text{ impar} \\ n + 1, & n \text{ par} \end{cases}. Calculează f∘ff \circ f, justifică faptul că ff este inversabilă și află inversa.

Scrie primele valori: f(0),f(1),f(2),…f(0), f(1), f(2), \dots Ce face ff cu perechile 0,10, 1 și 2,32, 3? Apoi gândește-te ce paritate are f(n)f(n).

  1. 1. Ce face ff

    Numerele pare urcă cu 11, cele impare coboară cu 11. Pentru nn impar avem n≥1n \ge 1, deci n−1≥0n - 1 \ge 0 rămâne în N\mathbb N.

    Câteva valori: f(0)=1f(0) = 1, f(1)=0f(1) = 0, f(2)=3f(2) = 3, f(3)=2f(3) = 2.

    Verifică-te

    Cât este f(5)f(5)?
    N\mathbb N
    N\mathbb N
    ff
    00
    11
    22
    33
    44
    55
    00
    11
    22
    33
    44
    55

    ff schimbă între ele numerele din fiecare pereche {0,1}\{0, 1\}, {2,3}\{2, 3\}, {4,5}\{4, 5\} și tot așa mai departe.

  2. 2. f∘ff \circ f

    (f∘f)(n)=f(f(n))(f \circ f)(n) = f(f(n)). Tratăm separat cele două cazuri.

    Dacă nn este impar: f(n)=n−1f(n) = n - 1, care este par, deci f(n−1)=(n−1)+1=nf(n - 1) = (n - 1) + 1 = n.

    Verifică-te

    Dacă nn este par, ce paritate are f(n)=n+1f(n) = n + 1?
    În ambele cazuri f(f(n))=nf(f(n)) = n. Deci f∘f=1Nf \circ f = 1_{\mathbb N}: aplicată de două ori, ff aduce fiecare număr înapoi, cum se vede și pe desen.

  3. 3. ff este propria ei inversă

    Aici A=B=NA = B = \mathbb N. Luăm g=fg = f: ambele condiții devin f∘f=1Nf \circ f = 1_{\mathbb N}, pe care tocmai am demonstrat-o.

    Deci ff este inversabilă și f−1=ff^{-1} = f. Este aceeași situație ca în exercițiul rezolvat 1 de la p. 98, unde inversa este funcția însăși.

Răspuns
(f∘f)(n)=n(f \circ f)(n) = n pentru orice n∈Nn \in \mathbb N, adică f∘f=1Nf \circ f = 1_{\mathbb N}. Deci ff este inversabilă și f−1=ff^{-1} = f.