Manual · pagina 100

Exercițiul 15 · Șapte funcții și inversele lor

(Activitate pe grupe: abordare individuală a câte unei funcții, apoi prezentare și discuții la nivel de grup) Arătați că următoarele funcții sunt inversabile, determinând în fiecare caz funcția inversă:

a) $f:\mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = -2x + 1$ ;

b) $f:[2, \infty) \to [0, \infty)$ , $f(x) = x^2 - 4x$ ;

c) $f:\mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = \begin{cases} 5x - 1, & x \le 0 \\ -1 + 3x, & x > 0 \end{cases}$ ;

d) $f:\mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & x \ge 0 \\ 1 - x^2, & x < 0 \end{cases}$ ;

e) $f:\mathbb R \setminus \{2\} \to \mathbb R \setminus \{1\}$ , $f(x) = \dfrac{x + 1}{x - 2}$ ;

f) $f:\mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = \begin{cases} x^2 - 6x + 11, & x \ge 3 \\ x - 1, & x < 3 \end{cases}$ ;

g) $f:\mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = \begin{cases} \sqrt{x + 4} - 2, & x \ge -4 \\ -\sqrt{-x - 4} - 2, & x < -4 \end{cases}$ .

a) $f:\mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = -2x + 1$

Rezolvă ecuația

-2x + 1 = y

în raport cu

x

. Dacă are o singură soluție pentru orice

y

, ai și bijectivitatea, și inversa.

1. Rezolvăm $f(x) = y$
Bijectivitate și inversă (manual, pp. 94 și 97)
$f:A \to B$ este bijectivă dacă și numai dacă ecuația $f(x) = y$ are o soluție unică $x \in A$ pentru orice $y \in B$ . O funcție bijectivă este inversabilă.
Inversa se obține rezolvând $f(x) = y$ în raport cu $x$ și redenumind apoi variabila.
Fie $y \in \mathbb R$ oarecare. Scădem $1$ din ambii membri, apoi împărțim la $-2$ :
$-2x + 1 = y \;\Rightarrow\; -2x = y - 1$
Verifică-te
Ce $x$ obții?
2. Concluzia
Pentru orice $y \in \mathbb R$ , ecuația are soluția unică $x = \dfrac{1 - y}{2} \in \mathbb R$ . Deci $f$ este bijectivă, adică inversabilă, iar redenumind variabila:
$f^{-1}:\mathbb R \to \mathbb R$ , $f^{-1}(x) = \dfrac{1 - x}{2}$ .
Verificare:
$\begin{aligned} &f\left(f^{-1}(x)\right) \\ &\quad = -2 \cdot \frac{1 - x}{2} + 1 \\ &\quad = -(1 - x) + 1 = x \end{aligned}$

Răspuns

f

este bijectivă, deci inversabilă, cu

f^{-1}:\mathbb R \to \mathbb R

f^{-1}(x) = \dfrac{1 - x}{2}

b) $f:[2, \infty) \to [0, \infty)$ , $f(x) = x^2 - 4x$

Calculează întâi

f(2)

și compară cu codomeniul. Scrie apoi

x^2 - 4x

ca un pătrat minus o constantă.

1. Codomeniul trebuie corectat
O funcție trebuie să ia valori în codomeniul ei. Dar în capătul domeniului, $f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 = -4$ , care nu este în $[0, \infty)$ . Așa cum e scris, codomeniul nu se potrivește (vezi nota de mai sus).
Ca să aflăm exact ce valori ia $f$ pe $[2, \infty)$ , completăm pătratul (din gimnaziu).
Verifică-te
Cum se scrie $x^2 - 4x$ ca un pătrat plus o constantă?
Pentru $x \ge 2$ , pătratul $(x - 2)^2$ ia toate valorile din $[0, \infty)$ , deci $f(x) = (x - 2)^2 - 4$ ia toate valorile din $[-4, \infty)$ . Lucrăm cu $f:[2, \infty) \to [-4, \infty)$ , ca în răspunsul manualului.
2. Rezolvăm $f(x) = y$
Bijectivitate și inversă (manual, pp. 94 și 97)
$f:A \to B$ este bijectivă dacă și numai dacă ecuația $f(x) = y$ are o soluție unică în $A$ pentru orice $y \in B$ . Inversa se obține rezolvând această ecuație în raport cu $x$ .
Fie $y \ge -4$ . Atunci $(x - 2)^2 - 4 = y$ , adică $(x - 2)^2 = y + 4 \ge 0$ . Cum $x \ge 2$ , numărul $x - 2$ este nenegativ.
Verifică-te
Ce $x \ge 2$ obții din $(x - 2)^2 = y + 4$ ?
Soluția există pentru orice $y \ge -4$ , este unică și este în $[2, \infty)$ . Deci $f$ este bijectivă, adică inversabilă (manual, p. 97).
3. Inversa și graficele
Redenumind variabila: $f^{-1}:[-4, \infty) \to [2, \infty)$ , $f^{-1}(x) = 2 + \sqrt{x + 4}$ .
Graficul lui $f$ pornește din $(2, -4)$ , sub axa $Ox$ : valorile negative fac parte din imagine. Graficul inversei este simetricul său față de $y = x$ .
Observație: dacă s-ar fi păstrat codomeniul $[0, \infty)$ , domeniul ar fi trebuit micșorat la $[4, \infty)$ , unde $f(x) \ge 0$ . Inversa ar fi avut aceeași lege, $2 + \sqrt{x + 4}$ , dar pe $[0, \infty)$ .

Răspuns

Cu codomeniul corect

[-4, \infty)

f:[2, \infty) \to [-4, \infty)

este bijectivă, cu

f^{-1}:[-4, \infty) \to [2, \infty)

f^{-1}(x) = 2 + \sqrt{x + 4}

c) $f:\mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = \begin{cases} 5x - 1, & x \le 0 \\ -1 + 3x, & x > 0 \end{cases}$

Află ce valori ia fiecare ramură. Inversa are tot două ramuri, despărțite de valoarea pe care o ia

f

în

x = 0

1. Valorile fiecărei ramuri
Inversabilă înseamnă bijectivă (manual, p. 97)
O funcție este inversabilă dacă și numai dacă este bijectivă: injectivă și surjectivă (manual, p. 94). Inversa se află rezolvând $f(x) = y$ în raport cu $x$ .
Verifică-te
Ce valori ia prima ramură, $5x - 1$ pentru $x \le 0$ ?
A doua ramură: din $x > 0$ rezultă $3x > 0$ , deci $-1 + 3x > -1$ . Ea ia valorile din $(-1, \infty)$ .
2. $f$ este bijectivă
Ambele ramuri sunt strict crescătoare, deci fiecare e injectivă pe bucata ei. Mulțimile de valori $(-\infty, -1]$ și $(-1, \infty)$ nu au elemente comune, deci două numere de pe ramuri diferite nu pot avea aceeași imagine: $f$ este injectivă.
Reuniunea lor este $\mathbb R$ , deci $f$ este surjectivă. Așadar $f$ este bijectivă, adică inversabilă.
Cele două ramuri se lipesc în $(0, -1)$ : cea stângă coboară sub $-1$ , cea dreaptă urcă deasupra.
3. Inversa, după valoarea lui $y$
Ramura pe care se află soluția lui $f(x) = y$ se alege după $y$ : pentru $y \le -1$ prima, pentru $y > -1$ a doua.
Verifică-te
Pentru ce $x$ avem $f(x) = 2$ ?
În general: pentru $y \le -1$ , $5x - 1 = y$ dă $x = \dfrac{y + 1}{5} \le 0$ ; pentru $y > -1$ , $-1 + 3x = y$ dă $x = \dfrac{y + 1}{3} > 0$ . Redenumind variabila:
$f^{-1}(x) = \begin{cases} \dfrac{x + 1}{5}, & x \le -1 \\[6pt] \dfrac{x + 1}{3}, & x > -1 \end{cases}$

Răspuns

f

este bijectivă, cu

f^{-1}:\mathbb R \to \mathbb R

f^{-1}(x) = \dfrac{x + 1}{5}

pentru

x \le -1

și

f^{-1}(x) = \dfrac{x + 1}{3}

pentru

x > -1

d) $f:\mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & x \ge 0 \\ 1 - x^2, & x < 0 \end{cases}$

Ce valori ia

1 - x^2

când

x

este negativ? Pe ramura aceea, când rezolvi

x^2 = \dots

, semnul lui

x

îți spune ce rădăcină păstrezi.

1. Valorile fiecărei ramuri
Inversabilă înseamnă bijectivă (manual, p. 97)
O funcție este inversabilă dacă și numai dacă este bijectivă (manual, p. 94). Inversa se află rezolvând $f(x) = y$ în raport cu $x$ .
Prima ramură: din $x \ge 0$ rezultă $2x + 1 \ge 1$ , deci ea ia valorile din $[1, \infty)$ , cu $f(0) = 1$ .
Verifică-te
Ce valori ia a doua ramură, $1 - x^2$ pentru $x < 0$ ?
2. $f$ este bijectivă
Prima ramură este strict crescătoare. A doua la fel: când $x < 0$ crește spre $0$ , $x^2$ scade, deci $1 - x^2$ crește.
Mulțimile de valori $[1, \infty)$ și $(-\infty, 1)$ nu se suprapun, deci $f$ este injectivă, iar reuniunea lor este $\mathbb R$ , deci $f$ este surjectivă. Așadar $f$ este bijectivă, adică inversabilă.
Ramura stângă urcă spre $(0, 1)$ , dar punctul $(0, 1)$ aparține ramurii drepte, care pornește din el.
3. Inversa, după valoarea lui $y$
Pentru $y \ge 1$ : din $2x + 1 = y$ rezultă $x = \dfrac{y - 1}{2} \ge 0$ .
Pentru $y < 1$ : soluția este pe ramura cu $x < 0$ , iar $1 - x^2 = y$ dă $x^2 = 1 - y > 0$ .
Verifică-te
Ce $x$ obții din $x^2 = 1 - y$ , pe ramura $x < 0$ ?
Redenumind variabila:
$f^{-1}(x) = \begin{cases} \dfrac{x - 1}{2}, & x \ge 1 \\[6pt] -\sqrt{1 - x}, & x < 1 \end{cases}$

Răspuns

f

este bijectivă, cu

f^{-1}:\mathbb R \to \mathbb R

f^{-1}(x) = \dfrac{x - 1}{2}

pentru

x \ge 1

și

f^{-1}(x) = -\sqrt{1 - x}

pentru

x < 1

e) $f:\mathbb R \setminus \{2\} \to \mathbb R \setminus \{1\}$ , $f(x) = \dfrac{x + 1}{x - 2}$

Rezolvă

\dfrac{x + 1}{x - 2} = y

: înmulțește cu numitorul și adună termenii cu

x

într-un membru. Verifică apoi că soluția nu este

2

1. Rezolvăm $f(x) = y$
Bijectivitate și inversă (manual, pp. 94 și 97)
$f:A \to B$ este bijectivă dacă și numai dacă $f(x) = y$ are o soluție unică $x \in A$ pentru orice $y \in B$ . Inversa se obține rezolvând această ecuație în raport cu $x$ .
Fie $y \ne 1$ . Ca în exercițiul rezolvat 1 de la p. 95, înmulțim cu $x - 2 \ne 0$ :
$\frac{x + 1}{x - 2} = y \;\Rightarrow\; x + 1 = yx - 2y$
Verifică-te
Ce obții după ce aduni termenii cu $x$ în membrul drept și restul în stânga?
2. Soluția este unică și e în domeniu
Cum $y \ne 1$ , putem împărți la $y - 1$ : $x = \dfrac{2y + 1}{y - 1}$ , singura soluție.
Mai trebuie ca $x \ne 2$ . Dacă $\dfrac{2y + 1}{y - 1} = 2$ , atunci $2y + 1 = 2y - 2$ , adică $1 = -2$ , imposibil. Deci soluția este în domeniu.
Pentru orice $y \in \mathbb R \setminus \{1\}$ ecuația are o soluție unică în $\mathbb R \setminus \{2\}$ , deci $f$ este bijectivă, adică inversabilă. (De aceea a fost exclus $1$ din codomeniu: $\frac{x + 1}{x - 2} = 1$ ar cere $x + 1 = x - 2$ , imposibil.)
3. Inversa
Redenumind variabila: $f^{-1}:\mathbb R \setminus \{1\} \to \mathbb R \setminus \{2\}$ , $f^{-1}(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$ .
Verifică-te
Cât este $f^{-1}(3)$ ?

Răspuns

f

este bijectivă, cu

f^{-1}:\mathbb R \setminus \{1\} \to \mathbb R \setminus \{2\}

f^{-1}(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}

f) $f:\mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = \begin{cases} x^2 - 6x + 11, & x \ge 3 \\ x - 1, & x < 3 \end{cases}$

Completează pătratul în

x^2 - 6x + 11

ca să vezi ce valori ia pentru

x \ge 3

. Compară cu valorile lui

x - 1

pentru

x < 3

1. Ramura cu $x^2$
Inversabilă înseamnă bijectivă (manual, p. 97)
O funcție este inversabilă dacă și numai dacă este bijectivă (manual, p. 94). Inversa se află rezolvând $f(x) = y$ în raport cu $x$ .
Completăm pătratul (din gimnaziu): jumătate din coeficientul lui $x$ este $-3$ , iar $(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$ .
Verifică-te
Cum se scrie $x^2 - 6x + 11$ ?
Pentru $x \ge 3$ , $(x - 3)^2$ ia toate valorile din $[0, \infty)$ și crește odată cu $x$ . Deci prima ramură este strict crescătoare și ia valorile din $[2, \infty)$ , cu $f(3) = 2$ .
2. $f$ este bijectivă
A doua ramură: pentru $x < 3$ , $x - 1 < 2$ , deci ia valorile din $(-\infty, 2)$ , strict crescător.
Mulțimile de valori $[2, \infty)$ și $(-\infty, 2)$ nu se suprapun și împreună dau $\mathbb R$ . Deci $f$ este injectivă și surjectivă, adică bijectivă și inversabilă.
Ramura dreaptă pornește din $(3, 2)$ și urcă. Ramura stângă ajunge oricât de aproape de $(3, 2)$ , dar punctul aparține ramurii drepte.
3. Inversa, după valoarea lui $y$
Pentru $y \ge 2$ soluția este pe ramura $x \ge 3$ : $(x - 3)^2 = y - 2$ , iar din $x - 3 \ge 0$ rezultă $x = 3 + \sqrt{y - 2}$ . Pentru $y < 2$ , din $x - 1 = y$ rezultă $x = y + 1 < 3$ .
Verifică-te
Pentru ce $x$ avem $f(x) = 6$ ?
Redenumind variabila:
$f^{-1}(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 2 \\ 3 + \sqrt{x - 2}, & x \ge 2 \end{cases}$

Răspuns

f

este bijectivă, cu

f^{-1}:\mathbb R \to \mathbb R

f^{-1}(x) = x + 1

pentru

x < 2

și

f^{-1}(x) = 3 + \sqrt{x - 2}

pentru

x \ge 2

g) $f:\mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = \begin{cases} \sqrt{x + 4} - 2, & x \ge -4 \\ -\sqrt{-x - 4} - 2, & x < -4 \end{cases}$

Un radical este mereu

\ge 0

. Ce spune asta despre valorile fiecărei ramuri față de

-2

? La inversă, izolează radicalul și ridică la pătrat.

1. Valorile fiecărei ramuri
Inversabilă înseamnă bijectivă (manual, p. 97)
O funcție este inversabilă dacă și numai dacă este bijectivă (manual, p. 94). Inversa se află rezolvând $f(x) = y$ în raport cu $x$ .
Prima ramură: pentru $x \ge -4$ , $\sqrt{x + 4}$ ia toate valorile din $[0, \infty)$ și crește odată cu $x$ . Deci $\sqrt{x + 4} - 2$ ia valorile din $[-2, \infty)$ , strict crescător.
Verifică-te
Ce valori ia a doua ramură, $-\sqrt{-x - 4} - 2$ pentru $x < -4$ ?
Și a doua ramură este strict crescătoare: când $x$ crește spre $-4$ , $-x - 4$ scade, radicalul scade, iar cu minus în față valoarea crește.
2. $f$ este bijectivă
Mulțimile de valori $[-2, \infty)$ și $(-\infty, -2)$ nu se suprapun și împreună dau $\mathbb R$ . Cu ramurile strict crescătoare, $f$ este injectivă și surjectivă, deci bijectivă și inversabilă.
Graficul lui $f$ trece prin $(-4, -2)$ și urcă tot timpul. Graficul inversei, simetricul său față de $y = x$ , trece prin $(-2, -4)$ .
3. Inversa, după valoarea lui $y$
Pentru $y \ge -2$ : $\sqrt{x + 4} = y + 2 \ge 0$ , deci $x + 4 = (y + 2)^2$ și $x = (y + 2)^2 - 4 \ge -4$ .
Pentru $y < -2$ : $-\sqrt{-x - 4} = y + 2$ , deci $\sqrt{-x - 4} = -(y + 2) > 0$ . Ridicăm la pătrat: $-x - 4 = (y + 2)^2$ .
Verifică-te
Ce $x$ obții din $-x - 4 = (y + 2)^2$ ?
Redenumind variabila:
$f^{-1}(x) = \begin{cases} -(x + 2)^2 - 4, & x < -2 \\ (x + 2)^2 - 4, & x \ge -2 \end{cases}$

Răspuns

f

este bijectivă, cu

f^{-1}:\mathbb R \to \mathbb R

f^{-1}(x) = -(x + 2)^2 - 4

pentru

x < -2

și

f^{-1}(x) = (x + 2)^2 - 4

pentru

x \ge -2

Exercițiul 15 · Șapte funcții și inversele lor

a)f:R→Rf:\mathbb R \to \mathbb Rf:R→R, f(x)=−2x+1f(x) = -2x + 1f(x)=−2x+1

1. Rezolvăm f(x)=yf(x) = yf(x)=y ✓

2. Concluzia ✓

b)f:[2,∞)→[0,∞)f:[2, \infty) \to [0, \infty)f:[2,∞)→[0,∞), f(x)=x2−4xf(x) = x^2 - 4xf(x)=x2−4x

1. Codomeniul trebuie corectat ✓

2. Rezolvăm f(x)=yf(x) = yf(x)=y ✓

3. Inversa și graficele ✓

c)f:R→Rf:\mathbb R \to \mathbb Rf:R→R, f(x)={5x−1,x≤0−1+3x,x>0f(x) = \begin{cases} 5x - 1, & x \le 0 \\ -1 + 3x, & x > 0 \end{cases}f(x)={5x−1,−1+3x,​x≤0x>0​

1. Valorile fiecărei ramuri ✓

2. fff este bijectivă ✓

3. Inversa, după valoarea lui yyy ✓

d)f:R→Rf:\mathbb R \to \mathbb Rf:R→R, f(x)={2x+1,x≥01−x2,x<0f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & x \ge 0 \\ 1 - x^2, & x < 0 \end{cases}f(x)={2x+1,1−x2,​x≥0x<0​

1. Valorile fiecărei ramuri ✓

2. fff este bijectivă ✓

3. Inversa, după valoarea lui yyy ✓

e)f:R∖{2}→R∖{1}f:\mathbb R \setminus \{2\} \to \mathbb R \setminus \{1\}f:R∖{2}→R∖{1}, f(x)=x+1x−2f(x) = \dfrac{x + 1}{x - 2}f(x)=x−2x+1​

1. Rezolvăm f(x)=yf(x) = yf(x)=y ✓

2. Soluția este unică și e în domeniu ✓

3. Inversa ✓

f)f:R→Rf:\mathbb R \to \mathbb Rf:R→R, f(x)={x2−6x+11,x≥3x−1,x<3f(x) = \begin{cases} x^2 - 6x + 11, & x \ge 3 \\ x - 1, & x < 3 \end{cases}f(x)={x2−6x+11,x−1,​x≥3x<3​

1. Ramura cu x2x^2x2 ✓

2. fff este bijectivă ✓

3. Inversa, după valoarea lui yyy ✓

g)f:R→Rf:\mathbb R \to \mathbb Rf:R→R, f(x)={x+4−2,x≥−4−−x−4−2,x<−4f(x) = \begin{cases} \sqrt{x + 4} - 2, & x \ge -4 \\ -\sqrt{-x - 4} - 2, & x < -4 \end{cases}f(x)={x+4​−2,−−x−4​−2,​x≥−4x<−4​

1. Valorile fiecărei ramuri ✓

2. fff este bijectivă ✓

3. Inversa, după valoarea lui yyy ✓

a) $f:\mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = -2x + 1$

1. Rezolvăm $f(x) = y$

2. Concluzia

b) $f:[2, \infty) \to [0, \infty)$ , $f(x) = x^2 - 4x$

1. Codomeniul trebuie corectat

2. Rezolvăm $f(x) = y$

3. Inversa și graficele

c) $f:\mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = \begin{cases} 5x - 1, & x \le 0 \\ -1 + 3x, & x > 0 \end{cases}$

1. Valorile fiecărei ramuri

2. $f$ este bijectivă

3. Inversa, după valoarea lui $y$

d) $f:\mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & x \ge 0 \\ 1 - x^2, & x < 0 \end{cases}$

1. Valorile fiecărei ramuri

2. $f$ este bijectivă

3. Inversa, după valoarea lui $y$

e) $f:\mathbb R \setminus \{2\} \to \mathbb R \setminus \{1\}$ , $f(x) = \dfrac{x + 1}{x - 2}$

1. Rezolvăm $f(x) = y$

2. Soluția este unică și e în domeniu

3. Inversa

f) $f:\mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = \begin{cases} x^2 - 6x + 11, & x \ge 3 \\ x - 1, & x < 3 \end{cases}$

1. Ramura cu $x^2$

2. $f$ este bijectivă

3. Inversa, după valoarea lui $y$

g) $f:\mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = \begin{cases} \sqrt{x + 4} - 2, & x \ge -4 \\ -\sqrt{-x - 4} - 2, & x < -4 \end{cases}$

1. Valorile fiecărei ramuri

2. $f$ este bijectivă

3. Inversa, după valoarea lui $y$