MateClar
← Capitol

Manual · pagina 100

Exercițiul 16 · Grafice obținute prin simetrie

Folosind reprezentările grafice ale inverselor, reprezintă grafic următoarele funcții:

a) f:[1,∞)→[0,∞)f:[1, \infty) \to [0, \infty), f(x)=x−1f(x) = \sqrt{x - 1};

b) f:[−3,∞)→(−∞,2]f:[-3, \infty) \to (-\infty, 2], f(x)=2−x+3f(x) = 2 - \sqrt{x + 3};

c) f:R→Rf:\mathbb R \to \mathbb R, f(x)={x+1,x<23+x−2,x≥2f(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 2 \\ 3 + \sqrt{x - 2}, & x \ge 2 \end{cases}.

a)f:[1,∞)→[0,∞)f:[1, \infty) \to [0, \infty), f(x)=x−1f(x) = \sqrt{x - 1}

Inversa unui radical este o funcție cu pătrat, ușor de desenat din câteva puncte. Desenează inversa, apoi oglindește-o față de dreapta y=xy = x.

  1. 1. Planul și inversa

    Desenăm deci graficul inversei, mai ușor de construit, apoi îl oglindim. Calculăm inversa rezolvând x−1=y\sqrt{x - 1} = y, cu y≥0y \ge 0 (manual, p. 97). Ridicăm la pătrat: x−1=y2x - 1 = y^2.

    Verifică-te

    Ce xx obții?
    Pentru orice y≥0y \ge 0 soluția există și este unică, deci ff este bijectivă (manual, p. 94). Inversa este f−1:[0,∞)→[1,∞)f^{-1}:[0, \infty) \to [1, \infty), f−1(x)=x2+1f^{-1}(x) = x^2 + 1.

  2. 2. Puncte de pe graficul inversei, oglindite

    xxf−1(x)=x2+1f^{-1}(x) = x^2 + 1
    0011
    1122
    2255

    Verifică-te

    Punctul (2,5)(2, 5) este pe graficul lui f−1f^{-1}. Cât este atunci f(5)f(5)?
    Oglindind tabelul, graficul lui ff trece prin (1,0)(1, 0), (2,1)(2, 1) și (5,2)(5, 2).

  3. 3. Graficul

    −1123456−1123456Oxy
    y=xy = x
    f−1f^{-1}
    ff

    Ramura de parabolă f−1(x)=x2+1f^{-1}(x) = x^2 + 1 și oglinda ei față de y=xy = x, graficul lui f(x)=x−1f(x) = \sqrt{x - 1}, care pornește din (1,0)(1, 0).

    Graficul lui ff pornește din (1,0)(1, 0), urcă și se aplatizează: este ramura de parabolă culcată pe o parte.
Răspuns
f−1:[0,∞)→[1,∞)f^{-1}:[0, \infty) \to [1, \infty), f−1(x)=x2+1f^{-1}(x) = x^2 + 1. Graficul lui ff este simetricul graficului lui f−1f^{-1} față de y=xy = x: pornește din (1,0)(1, 0) și trece prin (2,1)(2, 1) și (5,2)(5, 2).

b)f:[−3,∞)→(−∞,2]f:[-3, \infty) \to (-\infty, 2], f(x)=2−x+3f(x) = 2 - \sqrt{x + 3}

Izolează radicalul în 2−x+3=y2 - \sqrt{x + 3} = y și ridică la pătrat. Inversa este o ramură de parabolă: desenează-o din câteva puncte, apoi oglindește-o față de y=xy = x.

  1. 1. Inversa

    Rezolvăm 2−x+3=y2 - \sqrt{x + 3} = y pentru y≤2y \le 2 (manual, p. 97). Izolăm radicalul: x+3=2−y\sqrt{x + 3} = 2 - y, iar membrul drept este ≥0\ge 0, deci putem ridica la pătrat.

    Verifică-te

    Ce xx obții?
    Soluția există și este unică pentru orice y≤2y \le 2, deci ff este bijectivă. Inversa este f−1:(−∞,2]→[−3,∞)f^{-1}:(-\infty, 2] \to [-3, \infty), f−1(x)=(2−x)2−3f^{-1}(x) = (2 - x)^2 - 3.

  2. 2. Puncte oglindite

    xxf−1(x)f^{-1}(x)punct al lui ff
    22−3-3(−3,2)(-3, 2)
    11−2-2(−2,1)(-2, 1)
    0011(1,0)(1, 0)

    Verifică-te

    Cât este f−1(−1)=(2−(−1))2−3f^{-1}(-1) = (2 - (-1))^2 - 3?
    Inversa este o ramură de parabolă care coboară până în (2,−3)(2, -3). Prin oglindire, graficul lui ff pornește din (−3,2)(-3, 2) și coboară, tot mai încet, prin (−2,1)(-2, 1), (1,0)(1, 0), (6,−1)(6, -1).

  3. 3. Graficul

    −4−3−2−11234567−4−3−2−11234567Oxy
    y=xy = x
    f−1f^{-1}
    ff

    Ramura de parabolă f−1f^{-1}, care se oprește în (2,−3)(2, -3), și oglinda ei, graficul lui ff, care pornește din (−3,2)(-3, 2).

    Ambele funcții sunt descrescătoare, iar graficele lor se taie pe dreapta y=xy = x.
Răspuns
f−1:(−∞,2]→[−3,∞)f^{-1}:(-\infty, 2] \to [-3, \infty), f−1(x)=(2−x)2−3f^{-1}(x) = (2 - x)^2 - 3. Graficul lui ff este simetricul celui al lui f−1f^{-1} față de y=xy = x: pornește din (−3,2)(-3, 2) și trece prin (−2,1)(-2, 1), (1,0)(1, 0), (6,−1)(6, -1).

c)f:R→Rf:\mathbb R \to \mathbb R, f(x)={x+1,x<23+x−2,x≥2f(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 2 \\ 3 + \sqrt{x - 2}, & x \ge 2 \end{cases}

Află valorile fiecărei ramuri: ele despart ramurile inversei. Prima ramură a lui ff e o dreaptă; pentru a doua, inversa e o ramură de parabolă.

  1. 1. Valorile ramurilor

    Verifică-te

    Ce valori ia prima ramură, x+1x + 1 pentru x<2x < 2?
    A doua ramură: x−2≥0\sqrt{x - 2} \ge 0, deci 3+x−2≥33 + \sqrt{x - 2} \ge 3, și ia toate valorile din [3,∞)[3, \infty). Mulțimile de valori nu se suprapun și dau împreună R\mathbb R, iar ambele ramuri sunt strict crescătoare: ff este bijectivă, deci inversabilă (manual, p. 97).

  2. 2. Inversa, ramură cu ramură

    Pentru y<3y < 3: x+1=yx + 1 = y dă x=y−1<2x = y - 1 < 2. Pentru y≥3y \ge 3: 3+x−2=y3 + \sqrt{x - 2} = y dă x−2=y−3≥0\sqrt{x - 2} = y - 3 \ge 0.

    Verifică-te

    Ce xx obții din x−2=y−3\sqrt{x - 2} = y - 3?
    Redenumind variabila:
    f−1(x)={x−1,x<3(x−3)2+2,x≥3f^{-1}(x) = \begin{cases} x - 1, & x < 3 \\ (x - 3)^2 + 2, & x \ge 3 \end{cases}

  3. 3. Graficul, prin oglindire

    Desenăm f−1f^{-1}: dreapta x−1x - 1 până la x=3x = 3, apoi ramura de parabolă prin (3,2)(3, 2), (4,3)(4, 3), (5,6)(5, 6). Oglindim față de y=xy = x: graficul lui ff este dreapta x+1x + 1 până la x=2x = 2, apoi curba prin (2,3)(2, 3), (3,4)(3, 4), (6,5)(6, 5).
    −3−2−11234567−3−2−11234567Oxy
    f−1f^{-1}
    ff

    Graficul lui ff (dreapta x+1x + 1, apoi curba cu radical din (2,3)(2, 3)) și oglinda lui față de dreapta punctată y=xy = x, graficul lui f−1f^{-1}, cu punctul de lipire (3,2)(3, 2).

Răspuns
f−1(x)=x−1f^{-1}(x) = x - 1 pentru x<3x < 3 și f−1(x)=(x−3)2+2f^{-1}(x) = (x - 3)^2 + 2 pentru x≥3x \ge 3. Graficul lui ff este oglinda graficului lui f−1f^{-1} față de y=xy = x: dreapta y=x+1y = x + 1 până în (2,3)(2, 3), apoi curba prin (3,4)(3, 4) și (6,5)(6, 5).