MateClar
← Capitol

Manual · pagina 100

Exercițiul 18 · Monotonia inversei

Se consideră f ⁣:A→Bf\colon A \to B o funcție inversabilă, strict monotonă, și y1,y2∈By_1, y_2 \in B, y1≠y2y_1 \ne y_2. Fie x1=f−1(y1)x_1 = f^{-1}(y_1) și x2=f−1(y2)x_2 = f^{-1}(y_2). Demonstrează că:

a) f−1(y2)−f−1(y1)y2−y1\dfrac{f^{-1}(y_2) - f^{-1}(y_1)}{y_2 - y_1} =x2−x1f(x2)−f(x1)= \dfrac{x_2 - x_1}{f(x_2) - f(x_1)};

b) f−1f^{-1} este strict monotonă.

a)Demonstrează că f−1(y2)−f−1(y1)y2−y1\dfrac{f^{-1}(y_2) - f^{-1}(y_1)}{y_2 - y_1} =x2−x1f(x2)−f(x1)= \dfrac{x_2 - x_1}{f(x_2) - f(x_1)}.

Ai două fracții. Numărătorul din stânga e scris cu f−1f^{-1}, cel din dreapta cu x1,x2x_1, x_2. Ce legătură este între numitori? Gândește-te ce dă ff aplicată lui f−1(y1)f^{-1}(y_1).

  1. 1. Întâi pe un exemplu

    Luăm f ⁣:R→Rf\colon \mathbb R \to \mathbb R, f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1. Din y=2x+1y = 2x + 1 rezultă x=y−12x = \frac{y - 1}2, deci f−1(y)=y−12f^{-1}(y) = \frac{y - 1}2. Alegem y1=3y_1 = 3 și y2=7y_2 = 7. Atunci x1=f−1(3)=3−12=1x_1 = f^{-1}(3) = \frac{3 - 1}2 = 1.

    Verifică-te

    Cât este x2=f−1(7)x_2 = f^{-1}(7)?
    Comparăm cele două fracții. Stânga: 3−17−3=24=12\frac{3 - 1}{7 - 3} = \frac24 = \frac12. Dreapta: f(x2)=f(3)=7f(x_2) = f(3) = 7 și f(x1)=f(1)=3f(x_1) = f(1) = 3, deci 3−17−3=12\frac{3 - 1}{7 - 3} = \frac12. Sunt egale, și nu întâmplător: au același numitor și același numărător.

  2. 2. Numărătorii și numitorii, în general

    Numărătorii. Prin definiția lui x1x_1 și x2x_2, f−1(y1)=x1f^{-1}(y_1) = x_1 și f−1(y2)=x2f^{-1}(y_2) = x_2. Deci numărătorul din stânga este chiar x2−x1x_2 - x_1, numărătorul din dreapta.
    Numitorii. Aplicăm ff ambilor membri ai egalității x1=f−1(y1)x_1 = f^{-1}(y_1):
    f(x1)=f(f−1(y1))=(f∘f−1)(y1)f(x_1) = f\big(f^{-1}(y_1)\big) = (f \circ f^{-1})(y_1)

    Verifică-te

    Cu ce este egal f(x1)f(x_1)?

  3. 3. Concluzia

    Deci f(x2)−f(x1)=y2−y1f(x_2) - f(x_1) = y_2 - y_1, iar numitorul din dreapta este nenul, fiindcă y1≠y2y_1 \ne y_2. Înlocuim în membrul drept:
    x2−x1f(x2)−f(x1)=x2−x1y2−y1=f−1(y2)−f−1(y1)y2−y1\begin{aligned} &\frac{x_2 - x_1}{f(x_2) - f(x_1)} \\[4pt] &\quad = \frac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1} \\[4pt] &\quad = \frac{f^{-1}(y_2) - f^{-1}(y_1)}{y_2 - y_1} \end{aligned}
    Am obținut membrul stâng, deci egalitatea este adevărată. Observă și că x1≠x2x_1 \ne x_2: dacă ar fi egale, ar rezulta y1=f(x1)=f(x2)=y2y_1 = f(x_1) = f(x_2) = y_2. Monotonia lui ff nu a fost necesară aici; ea contează la punctul b).
Răspuns
Din xk=f−1(yk)x_k = f^{-1}(y_k) și f(xk)=f(f−1(yk))=ykf(x_k) = f\big(f^{-1}(y_k)\big) = y_k (k=1,2k = 1, 2), cele două fracții au același numărător, x2−x1x_2 - x_1, și același numitor nenul, y2−y1y_2 - y_1, deci sunt egale.

b)Demonstrează că f−1f^{-1} este strict monotonă.

Membrul stâng de la a) este raportul de variație al lui f−1f^{-1}. Membrul drept seamănă cu raportul de variație al lui ff, dar e „răsturnat”. Ce semn are?

  1. 1. Recunoaștem rapoartele de variație

    Ordinea nu contează: f(x2)−f(x1)x2−x1\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} este același număr, fiindcă și numărătorul, și numitorul își schimbă semnul. Deci membrul stâng de la a) este raportul de variație al lui f−1f^{-1}:
    Rf−1(y1,y2)=f−1(y2)−f−1(y1)y2−y1R_{f^{-1}}(y_1, y_2) = \frac{f^{-1}(y_2) - f^{-1}(y_1)}{y_2 - y_1}

    Verifică-te

    Ce este membrul drept, x2−x1f(x2)−f(x1)\dfrac{x_2 - x_1}{f(x_2) - f(x_1)}, față de Rf(x1,x2)R_f(x_1, x_2)?
    Punctul a) spune deci, pentru orice y1≠y2y_1 \ne y_2 din BB (cu x1=f−1(y1)x_1 = f^{-1}(y_1), x2=f−1(y2)x_2 = f^{-1}(y_2)):
    Rf−1(y1,y2)=1Rf(x1,x2)R_{f^{-1}}(y_1, y_2) = \frac1{R_f(x_1, x_2)}

  2. 2. Semnul raportului

    Un număr nenul și inversul lui au același semn. Distingem cele două cazuri ale lui ff.
    ff strict crescătoare. Atunci Rf(x1,x2)>0R_f(x_1, x_2) > 0, deci Rf−1(y1,y2)>0R_{f^{-1}}(y_1, y_2) > 0 pentru orice y1≠y2y_1 \ne y_2 din BB. Conform criteriului de la p. 70, f−1f^{-1} este strict crescătoare.

    Verifică-te

    Dacă ff este strict descrescătoare, ce semn are Rf−1(y1,y2)R_{f^{-1}}(y_1, y_2)?
    În ambele cazuri f−1f^{-1} este strict monotonă, și anume de același tip ca ff.

  3. 3. Pe grafic

    −112345−112345Oxy
    y=xy = x
    ff
    f−1f^{-1}
    (2,4)(2, 4)
    (4,2)(4, 2)

    f ⁣:[0,∞)→[0,∞)f\colon [0, \infty) \to [0, \infty), f(x)=x2f(x) = x^2 și inversa ei, f−1(x)=xf^{-1}(x) = \sqrt x. Graficele sunt simetrice față de dreapta y=xy = x: punctul (2,4)(2, 4) al lui ff devine (4,2)(4, 2) pe graficul lui f−1f^{-1}. Ambele urcă.

    Simetria față de prima bisectoare (manual, p. 97) arată același lucru: oglinda unei curbe care urcă de la stânga la dreapta urcă și ea, iar oglinda uneia care coboară coboară. Manualul notează această proprietate tot la p. 97: inversa are același tip de monotonie ca ff.
Răspuns
Pentru orice y1≠y2y_1 \ne y_2 din BB, Rf−1(y1,y2)=1Rf(x1,x2)R_{f^{-1}}(y_1, y_2) = \dfrac1{R_f(x_1, x_2)} are același semn ca RfR_f. Dacă ff este strict crescătoare, f−1f^{-1} este strict crescătoare; dacă ff este strict descrescătoare, f−1f^{-1} este strict descrescătoare.