MateClar
← Capitol

Manual · pagina 100

Exercițiul 19 · O funcție de două variabile

(Activitate pe grupe) Studiați inversabilitatea funcției f ⁣:R×R→R×Rf\colon \mathbb R \times \mathbb R \to \mathbb R \times \mathbb R, f(x,y)=(x+y, 2x−y)f(x, y) = (x + y,\ 2x - y). Diferă raționamentul făcut față de cazul funcțiilor de o singură variabilă? Explicați.

Studiați inversabilitatea funcției f ⁣:R×R→R×Rf\colon \mathbb R \times \mathbb R \to \mathbb R \times \mathbb R, f(x,y)=(x+y, 2x−y)f(x, y) = (x + y,\ 2x - y). Diferă raționamentul făcut față de cazul funcțiilor de o singură variabilă? Explicați.

Aici atât intrarea, cât și ieșirea sunt perechi de numere. Fixează o pereche (a,b)(a, b) din codomeniu și întreabă-te câte perechi (x,y)(x, y) duce ff în ea. Ce fel de problemă de gimnaziu obții?

  1. 1. Ce face funcția

    Funcția primește o pereche de numere reale (x,y)(x, y) și dă tot o pereche: prima componentă este suma x+yx + y, a doua este 2x−y2x - y. De exemplu, f(1,2)=(1+2, 2−2)=(3,0)f(1, 2) = (1 + 2,\ 2 - 2) = (3, 0).
    R×R\mathbb R \times \mathbb R
    R×R\mathbb R \times \mathbb R
    ff
    (1,2)(1, 2)
    (0,0)(0, 0)
    (2,1)(2, 1)
    (−1,1)(-1, 1)
    (3,0)(3, 0)
    (0,0)(0, 0)
    (3,3)(3, 3)
    (0,−3)(0, -3)

    Câteva perechi și imaginile lor. Fiecare element al domeniului și al codomeniului este un punct din plan.

    Verifică-te

    Cât este f(2,−1)f(2, -1)?

  2. 2. Rezolvăm f(x,y)=(a,b)f(x, y) = (a, b)

    Fixăm o pereche oarecare (a,b)∈R×R(a, b) \in \mathbb R \times \mathbb R. Egalitatea f(x,y)=(a,b)f(x, y) = (a, b) înseamnă că perechile au aceleași componente, adică un sistem de două ecuații cu necunoscutele xx și yy:
    {x+y=a2x−y=b\begin{cases} x + y = a \\ 2x - y = b \end{cases}
    Îl rezolvăm prin metoda reducerii (din gimnaziu): adunăm ecuațiile și yy se reduce, 3x=a+b3x = a + b, deci x=a+b3x = \frac{a + b}3. Din prima ecuație, y=a−xy = a - x.

    Verifică-te

    Cât este y=a−a+b3y = a - \dfrac{a + b}3?

  3. 3. Concluzia și inversa

    Pentru orice pereche (a,b)(a, b), sistemul are o singură soluție. Deci ff este bijectivă (surjectivă: soluția există; injectivă: este unică), adică inversabilă, iar inversa duce (a,b)(a, b) în această soluție:
    f−1 ⁣:R×R→R×R,f−1(a,b)=(a+b3, 2a−b3)\begin{aligned} &f^{-1}\colon \mathbb R \times \mathbb R \to \mathbb R \times \mathbb R, \\ &f^{-1}(a, b) = \left(\frac{a + b}3,\ \frac{2a - b}3\right) \end{aligned}
    Verificăm că ff desface ce a făcut f−1f^{-1}, adică f(f−1(a,b))=(a,b)f\big(f^{-1}(a, b)\big) = (a, b):
    a+b3+2a−b3=3a3=a2⋅a+b3−2a−b3=3b3=b\begin{aligned} \tfrac{a + b}3 + \tfrac{2a - b}3 &= \tfrac{3a}3 = a \\[4pt] 2 \cdot \tfrac{a + b}3 - \tfrac{2a - b}3 &= \tfrac{3b}3 = b \end{aligned}

    Verifică-te

    Cât este f−1(0,3)f^{-1}(0, 3)?

  4. 4. Diferă raționamentul?

    În esență, nu. Ca la o singură variabilă (manual, p. 97), am rezolvat ecuația f(intrare)=ieșiref(\text{intrare}) = \text{ieșire} în raport cu intrarea și am arătat că are soluție unică, pentru orice ieșire.
    Ce diferă este tehnica. Necunoscuta este o pereche, deci în loc de o ecuație cu o necunoscută rezolvăm un sistem de două ecuații cu două necunoscute. Apoi, unele unelte nu mai merg: graficul lui ff ar avea nevoie de patru axe, deci nu putem desena testul dreptei orizontale sau simetria față de y=xy = x, iar monotonia nu are sens, fiindcă perechile nu se pot ordona ca numerele.
Răspuns
Sistemul x+y=ax + y = a, 2x−y=b2x - y = b are soluția unică x=a+b3x = \frac{a + b}3, y=2a−b3y = \frac{2a - b}3, deci ff este bijectivă, adică inversabilă, cu f−1(a,b)=(a+b3,2a−b3)f^{-1}(a, b) = \left(\frac{a + b}3, \frac{2a - b}3\right). Raționamentul este același ca la o variabilă (soluție unică pentru orice ieșire); diferă doar că rezolvăm un sistem și nu putem folosi graficul sau monotonia.