MateClar
← Capitol

Manual · pagina 99

Exercițiul 2 · Inversa lui x2x^2 pe [0,∞)[0, \infty)

Determină inversa funcției f ⁣:[0,∞)→[0,∞)f\colon [0, \infty) \to [0, \infty), f(x)=x2f(x) = x^2.

Determină inversa funcției f ⁣:[0,∞)→[0,∞)f\colon [0, \infty) \to [0, \infty), f(x)=x2f(x) = x^2.

Rezolvă x2=yx^2 = y pentru un y≥0y \ge 0. Ecuația are două soluții reale (sau una, pentru y=0y = 0); care dintre ele se află în domeniul lui ff?

  1. 1. Ce trebuie făcut

    Aici A=B=[0,∞)A = B = [0, \infty). Luăm un y≥0y \ge 0 oarecare și rezolvăm x2=yx^2 = y.

    Verifică-te

    Care sunt soluțiile reale ale ecuației x2=yx^2 = y, pentru y≥0y \ge 0?

  2. 2. Domeniul păstrează o singură soluție

    Soluțiile trebuie căutate în domeniul A=[0,∞)A = [0, \infty), adică printre numerele nenegative.

    Verifică-te

    Pentru y>0y > 0, câte dintre soluțiile y\sqrt y și −y-\sqrt y sunt în [0,∞)[0, \infty)?

    Deci pentru fiecare y∈[0,∞)y \in [0, \infty) ecuația x2=yx^2 = y are exact o soluție în domeniu, x=yx = \sqrt y, iar ea este tot în [0,∞)[0, \infty). Așadar ff este bijectivă, deci inversabilă, și f−1(y)=yf^{-1}(y) = \sqrt y.

    Revenind la litera xx:

    f−1 ⁣:[0,∞)→[0,∞),f−1(x)=x\begin{aligned} & f^{-1}\colon [0, \infty) \to [0, \infty), \\ & f^{-1}(x) = \sqrt x \end{aligned}

  3. 3. Verificare și grafic

    Compunem în ambele ordini. Pentru x≥0x \ge 0, x2=x\sqrt{x^2} = x (radicalul dă numărul nenegativ al cărui pătrat este x2x^2), iar (x)2=x\left(\sqrt x\right)^2 = x. Deci f−1∘f=1Af^{-1} \circ f = 1_A și f∘f−1=1Bf \circ f^{-1} = 1_B.
    −112345−112345Oxy
    y=xy = x
    ff
    f−1f^{-1}
    (2,4)(2, 4)
    (4,2)(4, 2)

    Ramura de parabolă f(x)=x2f(x) = x^2, x≥0x \ge 0, și oglinda ei față de dreapta y=xy = x: graficul lui x\sqrt x.

    Pe tot R\mathbb R, x2x^2 nu ar fi inversabilă: (−2)2=22(-2)^2 = 2^2. Restrângerea la [0,∞)[0, \infty) păstrează o singură ramură a parabolei, iar ea are oglindă care este tot grafic de funcție.
Răspuns
f−1 ⁣:[0,∞)→[0,∞)f^{-1}\colon [0, \infty) \to [0, \infty), f−1(x)=xf^{-1}(x) = \sqrt x.