MateClar
← Capitol

Manual · pagina 100

Exercițiul 20 · x3+x+1x^3 + x + 1 este inversabilă

Se consideră funcția f ⁣:R→Rf\colon \mathbb R \to \mathbb R, f(x)=x3+x+1f(x) = x^3 + x + 1. Demonstrează că ff este inversabilă, folosind reprezentarea grafică realizată cu ajutorul unei aplicații digitale.

Se consideră funcția f ⁣:R→Rf\colon \mathbb R \to \mathbb R, f(x)=x3+x+1f(x) = x^3 + x + 1. Demonstrează că ff este inversabilă, folosind reprezentarea grafică realizată cu ajutorul unei aplicații digitale.

Inversabilă înseamnă bijectivă. Pe grafic, orice dreaptă orizontală pare să-l taie o singură dată. Ca să justifici „cel mult o dată”, arată că ff este strict crescătoare: scrie f(x2)−f(x1)f(x_2) - f(x_1) și dă factor comun x2−x1x_2 - x_1.

  1. 1. Ce arată graficul

    −3−2−1123−3−2−112345Oxy
    ff
    y=2y = 2
    y=−2y = -2

    Graficul lui f(x)=x3+x+1f(x) = x^3 + x + 1 (în locul aplicației digitale). Urcă tot timpul, fără întreruperi, și fiecare dreaptă orizontală desenată îl taie într-un singur punct.

    Graficul ne sugerează că ff este bijectivă. Justificăm cele două jumătăți: „cel mult o dată” (injectivitatea) prin calcul, iar „cel puțin o dată” (surjectivitatea) pe grafic.

  2. 2. Injectivitatea: ff este strict crescătoare

    Fie x1<x2x_1 < x_2. Folosim formula diferenței de cuburi (din gimnaziu):
    x23−x13=(x2−x1)⋅(x22+x1x2+x12)\begin{aligned} &x_2^3 - x_1^3 = (x_2 - x_1) \\ &\qquad \cdot (x_2^2 + x_1 x_2 + x_1^2) \end{aligned}
    Grupăm termenii și dăm factor comun x2−x1x_2 - x_1:
    f(x2)−f(x1)=(x23−x13)+(x2−x1)=(x2−x1)⋅(x22+x1x2+x12+1)\begin{aligned} &f(x_2) - f(x_1) \\ &\quad = (x_2^3 - x_1^3) + (x_2 - x_1) \\ &\quad = (x_2 - x_1) \\ &\qquad \cdot (x_2^2 + x_1 x_2 + x_1^2 + 1) \end{aligned}
    Primul factor este pozitiv, fiindcă x1<x2x_1 < x_2.

    Verifică-te

    Ce semn are al doilea factor, x22+x1x2+x12+1x_2^2 + x_1 x_2 + x_1^2 + 1?
    x12+x1x2+x22+1=(x1+x22)2+34x22+1≥1\begin{aligned} &x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2 + 1 \\ &\quad = \left(x_1 + \tfrac{x_2}2\right)^2 + \tfrac34 x_2^2 + 1 \\ &\quad \ge 1 \end{aligned}
    Produsul a doi factori pozitivi este pozitiv: f(x1)<f(x2)f(x_1) < f(x_2). Deci ff este strict crescătoare (manual, p. 70), așadar injectivă.

  3. 3. Surjectivitatea: pe grafic

    Trebuie ca orice dreaptă y=ky = k să taie graficul cel puțin o dată (manual, p. 90). Graficul urcă oricât de sus spre dreapta și coboară oricât de jos spre stânga. Calculăm două valori:

    Verifică-te

    Cât este f(−2)f(-2)?
    Deci orice dreaptă y=ky = k cu −9≤k≤11{-9 \le k \le 11} trece între punctele (−2,f(−2))(-2, f(-2)) și (2,f(2))(2, f(2)) ale graficului. Cum graficul este o curbă fără întreruperi, ea taie dreapta undeva între x=−2x = -2 și x=2x = 2. Același lucru merge pentru orice kk: găsim un punct al graficului deasupra dreptei și unul dedesubt. Pentru x≥0x \ge 0, x3≥0x^3 \ge 0, deci f(∣k∣)≥∣k∣+1>k{f(|k|) \ge |k| + 1 > k}. Pentru x≤−1x \le -1, x3≤xx^3 \le x, deci f(x)≤2x+1f(x) \le 2x + 1 și f(−∣k∣−1)≤−2∣k∣−1<k{f(-|k| - 1) \le -2|k| - 1 < k}. Deci ff este surjectivă, așadar bijectivă, adică inversabilă.

  4. 4. Câteva valori ale inversei

    f−1(k)f^{-1}(k) este singura soluție a ecuației f(x)=kf(x) = k. Pentru ff nu avem o formulă simplă a inversei, dar putem afla valori încercând numere: dacă găsim o soluție, ea este singura, fiindcă ff este injectivă. De exemplu, f(0)=1f(0) = 1, deci f−1(1)=0f^{-1}(1) = 0.

    Verifică-te

    Cât este f−1(3)f^{-1}(3)?
    La fel, f(−1)=−1f(-1) = -1 și f(2)=11f(2) = 11, deci f−1(−1)=−1f^{-1}(-1) = -1 și f−1(11)=2f^{-1}(11) = 2. Punctele graficului lui f−1f^{-1} sunt oglinditele celor ale lui ff față de dreapta y=xy = x (manual, p. 97):
    −2−11234−2−11234Oxy
    y=xy = x
    ff
    f−1f^{-1}
    (1,3)(1, 3)
    (3,1)(3, 1)
    (−1,−1)(-1, -1)

    Graficul lui f−1f^{-1} este oglinditul graficului lui ff față de y=xy = x: punctele (0,1)(0, 1) și (1,3)(1, 3) ale lui ff devin (1,0)(1, 0) și (3,1)(3, 1). Punctul (−1,−1)(-1, -1) este pe dreapta y=xy = x, deci aparține ambelor grafice.

Răspuns
Pentru x1<x2x_1 < x_2, f(x2)−f(x1)=(x2−x1)⋅(x22+x1x2+x12+1)>0,\begin{aligned} &f(x_2) - f(x_1) \\ &\quad = (x_2 - x_1) \\ &\qquad \cdot (x_2^2 + x_1 x_2 + x_1^2 + 1) \\ &\quad > 0, \end{aligned} deci ff este strict crescătoare, adică injectivă. Graficul, o curbă fără întreruperi care urcă de la −∞-\infty la +∞+\infty, taie orice dreaptă orizontală, deci ff este surjectivă. Așadar ff este bijectivă, adică inversabilă; de exemplu f−1(−1)=−1f^{-1}(-1) = -1, f−1(1)=0f^{-1}(1) = 0, f−1(3)=1f^{-1}(3) = 1, f−1(11)=2f^{-1}(11) = 2.