MateClar
← Capitol

Manual · pagina 100

Exercițiul 21 · Raționale și iraționale

Determină a∈Ra \in \mathbb R pentru care funcția

f(x)={x,x∈Qax,x∈R∖Qf(x) = \begin{cases} x, & x \in \mathbb Q \\ ax, & x \in \mathbb R \setminus \mathbb Q \end{cases}

este bijectivă.

Determină a∈Ra \in \mathbb R pentru care funcția f(x)=xf(x) = x pentru x∈Qx \in \mathbb Q și f(x)=axf(x) = ax pentru x∈R∖Qx \in \mathbb R \setminus \mathbb Q este bijectivă.

Numerele raționale merg în ele însele, deci „ocupă” deja toate valorile raționale. Ce se întâmplă dacă un număr irațional xx are axax rațional? Încearcă a=2a = \sqrt2: găsești un irațional pe care ff îl duce într-un număr rațional?

  1. 1. Ce trebuie să se întâmple

    Enunțul nu scrie domeniul și codomeniul; formula are sens pentru orice xx real și dă numere reale, deci lucrăm cu f ⁣:R→Rf\colon \mathbb R \to \mathbb R. Bijectivă înseamnă injectivă și surjectivă (manual, p. 94).
    Ramura de sus duce fiecare număr rațional în el însuși, deci toate valorile raționale sunt deja luate de numerele raționale. Ca ff să fie injectivă, niciun irațional nu are voie să ajungă tot la o valoare rațională. Aici este capcana.

  2. 2. Când aa este irațional sau zero

    Încercăm a=2a = \sqrt2. Căutăm un irațional xx pe care ramura de jos îl duce în 11, adică 2⋅x=1\sqrt2 \cdot x = 1.

    Verifică-te

    Pentru a=2a = \sqrt2, ce număr irațional xx are f(x)=1f(x) = 1?
    R\mathbb R
    R\mathbb R
    ff
    11
    22\tfrac{\sqrt2}2
    2\sqrt2
    11
    22

    Pentru a=2a = \sqrt2: raționalul 11 și iraționalul 22\frac{\sqrt2}2 ajung amândouă în 11, deci ff nu este injectivă.

    La fel pentru orice aa irațional: x=1ax = \frac1a este irațional, deci f(1a)=a⋅1a=1=f(1)f\left(\frac1a\right) = a \cdot \frac1a = 1 = f(1). Iar pentru a=0a = 0, f(2)=0=f(0)f(\sqrt2) = 0 = f(0). În ambele cazuri ff nu este injectivă, deci nici bijectivă. Rămâne aa rațional nenul.

  3. 3. Când aa este rațional nenul

    Injectivitatea. Fie f(x1)=f(x2)f(x_1) = f(x_2). Dacă x1,x2x_1, x_2 sunt raționale, egalitatea este x1=x2x_1 = x_2. Dacă sunt iraționale, ax1=ax2a x_1 = a x_2 și, cum a≠0a \ne 0, x1=x2x_1 = x_2. Dacă x1x_1 este rațional și x2x_2 irațional, f(x1)=x1f(x_1) = x_1 este rațional, iar f(x2)=ax2f(x_2) = a x_2 este irațional, deci nu pot fi egale. Deci ff este injectivă.
    Surjectivitatea. Fie yy real. Dacă yy este rațional, f(y)=yf(y) = y. Dacă yy este irațional, luăm x=yax = \frac ya, care este irațional, deci f(x)=a⋅ya=yf(x) = a \cdot \frac ya = y.

    Verifică-te

    Pentru a=2a = 2, care este preimaginea lui y=5y = \sqrt5?
    R\mathbb R
    R\mathbb R
    ff
    11
    12\tfrac12
    2\sqrt2
    32\tfrac{\sqrt3}2
    11
    12\tfrac12
    222\sqrt2
    3\sqrt3

    Pentru a=2a = 2: raționalii rămân pe loc, iraționalii se dublează și rămân iraționali. Cele două „lumi” nu se amestecă.

    Deci pentru orice aa rațional nenul, ff este bijectivă. De exemplu, pentru a=1a = 1, f(x)=xf(x) = x pentru orice xx.
Răspuns
ff este bijectivă exact pentru a∈Q∖{0}a \in \mathbb Q \setminus \{0\}. Pentru aa irațional, f(1a)=1=f(1)f\left(\frac1a\right) = 1 = f(1); pentru a=0a = 0, f(2)=f(0)f(\sqrt2) = f(0).