Exercițiul 22 · Strict crescătoare pe o mulțime finită

Fie $A = \{1, 2, 3\}$ și $f\colon A \to A$ strict crescătoare, adică $f(1) < f(2) < f(3)$ (manual, p. 70). Avem nevoie de trei valori diferite, în ordine crescătoare, toate din $\{1, 2, 3\}$.

Scriem elementele lui $A$ în ordine crescătoare: $a_1 < a_2 < \ldots < a_n$. Cum $f$ este strict crescătoare,

Deci $f$ este injectivă. Pentru surjectivitate trebuie ca valorile $f(a_1), \ldots, f(a_n)$ să acopere tot $A$.

Deci $f$ este injectivă și surjectivă, adică bijectivă, deci inversabilă.

Valorile $f(a_1) < f(a_2) < \ldots < f(a_n)$ sunt toate elementele lui $A$, scrise în ordine crescătoare. Dar în ordine crescătoare elementele lui $A$ sunt $a_1, a_2, \ldots, a_n$. Deci $f(a_1) = a_1$, $f(a_2) = a_2$, …, $f(a_n) = a_n$: $f$ este funcția identică $1_A$, iar $f^{-1} = f$.

Finitudinea este esențială. Funcția $f\colon \mathbb N \to \mathbb N$, $f(n) = n + 1$ este strict crescătoare, deci injectivă, dar nu este surjectivă.