MateClar
← Capitol

Manual · pagina 100

Exercițiul 23 · Ecuația f(x)=f−1(x)f(x) = f^{-1}(x)

Rezolvă ecuația f(x)=f−1(x)f(x) = f^{-1}(x) în cazul în care f(x)=x+12f(x) = \dfrac{x + 1}2, pentru oricare xx număr real.

Rezolvă ecuația f(x)=f−1(x)f(x) = f^{-1}(x) în cazul în care f ⁣:R→Rf\colon \mathbb R \to \mathbb R, f(x)=x+12f(x) = \dfrac{x + 1}2.

Întâi află f−1f^{-1}, rezolvând y=x+12y = \frac{x + 1}2 în raport cu xx. Apoi ai o ecuație de gradul I.

  1. 1. Inversa lui ff

    Din y=x+12y = \frac{x + 1}2 îl scoatem pe xx. Pentru orice yy real obținem o singură soluție, deci ff este bijectivă. Revenim la litera xx pentru variabilă, ca în manual.

    Verifică-te

    Cât este f−1(x)f^{-1}(x)?

  2. 2. Rezolvăm ecuația

    Ecuația devine x+12=2x−1\frac{x + 1}2 = 2x - 1. Înmulțim cu 22 ambii membri (din gimnaziu):
    x+1=4x−2x + 1 = 4x - 2

    Verifică-te

    Ce soluție are ecuația?
    Verificare: f(1)=1+12=1f(1) = \frac{1 + 1}2 = 1 și f−1(1)=2−1=1f^{-1}(1) = 2 - 1 = 1. Mulțimea soluțiilor este S={1}S = \{1\}.

  3. 3. De ce soluția este pe dreapta y=xy = x

    −3−2−1123−3−2−1123Oxy
    y=xy = x
    ff
    f−1f^{-1}
    (1,1)(1, 1)

    Graficele lui ff și f−1f^{-1} sunt simetrice față de y=xy = x (manual, p. 97) și se întâlnesc chiar pe această dreaptă, în (1,1)(1, 1).

    Nu e o coincidență. ff este strict crescătoare. Să presupunem că f(x)=f−1(x){f(x) = f^{-1}(x)} și notăm valoarea comună cu tt. Din f(x)=tf(x) = t și din f−1(x)=tf^{-1}(x) = t, adică f(t)=xf(t) = x, rezultă:
    dacă x<tx < t, atunci f(x)<f(t)f(x) < f(t), adică t<xt < x, imposibil; dacă x>tx > t, atunci f(x)>f(t)f(x) > f(t), adică t>xt > x, tot imposibil. Deci t=xt = x, adică f(x)=xf(x) = x.
Răspuns
f−1(x)=2x−1f^{-1}(x) = 2x - 1, iar x+12=2x−1\frac{x + 1}2 = 2x - 1 are soluția unică x=1x = 1: S={1}S = \{1\}. Graficele lui ff și f−1f^{-1} se intersectează pe prima bisectoare, în (1,1)(1, 1).