Manual · pagina 99

Exercițiul 4 · $f^{-1}(3)$ când $f(1) = 3$

Dacă

f(1) = 3

și

f

este o funcție bijectivă, care este valoarea lui

f^{-1}(3)

?

Dacă $f(1) = 3$ și $f$ este o funcție bijectivă, care este valoarea lui $f^{-1}(3)$ ?

Nu ai nevoie de legea lui

f

. Inversa face drumul înapoi: din ce număr a plecat

f

ca să ajungă la

3

?

1. Inversa merge înapoi
Inversa (manual, p. 97)
O funcție bijectivă $f\colon A \to B$ are inversă $f^{-1}\colon B \to A$ , cu $f^{-1}(f(x)) = x$ pentru orice ${x \in A}$ și $f(f^{-1}(y)) = y$ pentru orice ${y \in B}$ .
Altfel spus: $f^{-1}(y) = x$ exact când $f(x) = y$ .
Știm doar atât: $f(1) = 3$ . Legea lui $f$ nu este dată.
Verifică-te
Cât este $f^{-1}(3)$ ?
2. De ce contează că $f$ e bijectivă
Bijectivă înseamnă (manual, p. 94) că fiecare element din codomeniu este imaginea exact unui element din domeniu. Deci $1$ este singurul număr pe care $f$ îl trimite în $3$ , iar $f^{-1}$ nu are de ales: $f^{-1}(3) = 1$ .
Dacă $f$ nu ar fi injectivă și ar trimite și alt număr în $3$ , nu am ști înapoi unde să mergem, iar inversa n-ar exista.
$f$ duce fiecare element într-unul singur, iar $f^{-1}$ îl aduce înapoi: $1 \mapsto 3 \mapsto 1$ .
Pe grafic, graficele lui $f$ și $f^{-1}$ sunt simetrice față de dreapta $y = x$ (manual, p. 97). Punctul $(1, 3)$ este pe graficul lui $f$ .
Verifică-te
Ce punct este sigur pe graficul lui $f^{-1}$ ?
Oricare ar fi $f$ , punctul $(1, 3)$ al graficului ei (albastru) se oglindește față de $y = x$ în punctul $(3, 1)$ al graficului inversei (verde).

Răspuns

f^{-1}(3) = 1

.