MateClar
← Capitol

Manual · pagina 99

Exercițiul 5 · n+(−1)nn + (-1)^n pe Z\mathbb Z

Stabilește dacă f ⁣:Z→Zf\colon \mathbb Z \to \mathbb Z, f(n)=n+(−1)nf(n) = n + (-1)^n este inversabilă.

Stabilește dacă f ⁣:Z→Zf\colon \mathbb Z \to \mathbb Z, f(n)=n+(−1)nf(n) = n + (-1)^n este inversabilă.

Scrie legea separat pentru nn par și pentru nn impar. Apoi calculează f(f(n))f(f(n)).

  1. 1. Legea pe cazuri

    Puterea (−1)n(-1)^n depinde doar de paritatea lui nn: este 11 pentru nn par și −1-1 pentru nn impar. Deci ff adună 11 la numerele pare și scade 11 din cele impare.
    f(n)={n+1,n parn−1,n imparf(n) = \begin{cases} n + 1, & n \text{ par} \\ n - 1, & n \text{ impar} \end{cases}

    Verifică-te

    Cât este f(−3)f(-3)?

  2. 2. Aplicăm ff de două ori

    Să aplicăm ff de două ori unui număr par nn. Primul pas dă n+1n + 1, care este impar.

    Verifică-te

    Pentru nn par, cât este f(f(n))=f(n+1)f(f(n)) = f(n + 1)?
    Deci un număr par 2k2k merge în 2k+12k + 1, iar numărul impar 2k+12k + 1 merge înapoi în 2k2k. Numerele întregi se împart în perechi de vecini, {2k,2k+1}\{2k, 2k + 1\}, iar ff schimbă între ele cele două numere din fiecare pereche:
    Z\mathbb Z
    Z\mathbb Z
    ff
    −2-2
    −1-1
    00
    11
    22
    33
    −2-2
    −1-1
    00
    11
    22
    33

    O parte din Z\mathbb Z: ff schimbă între ei vecinii −2↔−1-2 \leftrightarrow -1, 0↔10 \leftrightarrow 1, 2↔32 \leftrightarrow 3, și tot așa mai departe.

  3. 3. Inversa este chiar ff

    La fel, pentru nn impar: f(n)=n−1f(n) = n - 1 este par, deci f(f(n))=(n−1)+1=nf(f(n)) = (n - 1) + 1 = n. Așadar f(f(n))=nf(f(n)) = n pentru orice n∈Zn \in \mathbb Z, adică f∘f=1Zf \circ f = 1_{\mathbb Z}.

    Aici A=B=ZA = B = \mathbb Z și funcția g=fg = f verifică ambele egalități, pentru că ambele spun f∘f=1Zf \circ f = 1_{\mathbb Z}. Deci ff este inversabilă și f−1=ff^{-1} = f: aplicată a doua oară, ff își desface propriul efect.

    Se vede și direct că ff este bijectivă: fiecare m∈Zm \in \mathbb Z provine dintr-un singur număr, vecinul lui din pereche (f(n)=mf(n) = m are unica soluție n=f(m)n = f(m)). La fel se întâmplă în exercițiul rezolvat de la p. 98, unde f−1=ff^{-1} = f.

Răspuns
Da, ff este inversabilă: f(f(n))=n{f(f(n)) = n} pentru orice n∈Zn \in \mathbb Z, deci f−1=ff^{-1} = f, adică f−1(n)=n+(−1)nf^{-1}(n) = n + (-1)^n.