Manual · pagina 99

Exercițiul 6 · Inversa lui $x^3$

Determină inversa funcției

f\colon \mathbb R \to \mathbb R

f(x) = x^3

Determină inversa funcției $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = x^3$ .

Rezolvă

x^3 = y

. Spre deosebire de pătrat, cubul păstrează semnul: ce se întâmplă pentru

y < 0

1. Ce trebuie făcut
Inversa (manual, p. 97)
$f\colon A \to B$ este inversabilă dacă și numai dacă este bijectivă: ecuația $f(x) = y$ are exact o soluție ${x \in A}$ pentru fiecare ${y \in B}$ . Soluția, scrisă în funcție de $y$ , este $f^{-1}(y)$ .
Rezolvăm $x^3 = y$ pentru un $y \in \mathbb R$ oarecare. Numărul al cărui cub este $y$ se notează $\sqrt[3]{y}$ (radicalul de ordinul trei, manual, p. 168); el există pentru orice număr real, și pozitiv, și negativ.
Verifică-te
Ce soluții reale are ecuația $x^3 = -8$ ?
2. O singură soluție pentru orice $y$
Există o soluție: $x = \sqrt[3]{y}$ , pentru orice $y \in \mathbb R$ . Deci $f$ este surjectivă.
Este singura: $f$ este strict crescătoare, deci injectivă (manual, p. 97). Pentru $a \ne b$ (egalitatea se verifică desfăcând parantezele):
$\begin{aligned} b^3 - a^3 &= (b - a) \cdot P, \\ P &= a^2 + ab + b^2 \end{aligned}$
iar, prin completarea pătratului,
$P = \left(a + \tfrac b2\right)^2 + \tfrac34 b^2$
Factorul $P$ este o sumă de pătrate și este $0$ doar pentru $a = b = 0$ , deci pentru $a \ne b$ este pozitiv. Astfel $a < b$ implică $a^3 < b^3$ : două numere diferite au cuburi diferite.
Verifică-te
Ce poți spune despre $f$ ?
3. Inversa și graficul ei
Soluția ecuației $x^3 = y$ este $x = \sqrt[3]{y}$ , deci $f^{-1}(y) = \sqrt[3]{y}$ . Cu litera $x$ :
$f^{-1}\colon \mathbb R \to \mathbb R, \quad f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}$
Verificare: $\left(\sqrt[3]{x}\right)^3 = x$ și $\sqrt[3]{x^3} = x$ pentru orice $x \in \mathbb R$ . Graficul lui $\sqrt[3]{x}$ este oglinda graficului lui $x^3$ față de dreapta $y = x$ (manual, p. 97, unde apare chiar această pereche):
Graficele lui $x^3$ și $\sqrt[3]{x}$ se intersectează pe dreapta $y = x$ , în $(-1, -1)$ , $(0, 0)$ și $(1, 1)$ .

Răspuns

f^{-1}\colon \mathbb R \to \mathbb R

f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}

Exercițiul 6 · Inversa lui x3x^3x3

Determină inversa funcției f ⁣:R→Rf\colon \mathbb R \to \mathbb Rf:R→R, f(x)=x3f(x) = x^3f(x)=x3.

1. Ce trebuie făcut ✓

2. O singură soluție pentru orice yyy ✓

3. Inversa și graficul ei ✓

Exercițiul 6 · Inversa lui $x^3$

Determină inversa funcției $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = x^3$ .

1. Ce trebuie făcut

2. O singură soluție pentru orice $y$

3. Inversa și graficul ei