MateClar
← Capitol

Manual · pagina 99

Exercițiul 7 · Inversa unei funcții fracționare

Verifică faptul că f ⁣:R∖{−1}→R∖{2}f\colon \mathbb R \setminus \{-1\} \to \mathbb R \setminus \{2\}, f(x)=2xx+1f(x) = \dfrac{2x}{x + 1} este inversabilă și determină f−1f^{-1}.

Verifică faptul că f ⁣:R∖{−1}→R∖{2}f\colon \mathbb R \setminus \{-1\} \to \mathbb R \setminus \{2\}, f(x)=2xx+1f(x) = \dfrac{2x}{x + 1} este inversabilă și determină f−1f^{-1}.

Rezolvă 2xx+1=y\dfrac{2x}{x + 1} = y pentru y≠2y \ne 2: înmulțește cu x+1x + 1 și adună termenii cu xx. Apoi verifică dacă soluția poate ieși din domeniu, adică să fie −1-1.

  1. 1. Rezolvăm f(x)=yf(x) = y

    Aici A=R∖{−1}A = \mathbb R \setminus \{-1\} și B=R∖{2}B = \mathbb R \setminus \{2\}. Luăm y≠2y \ne 2. Pentru x≠−1x \ne -1 putem înmulți ecuația cu x+1x + 1:
    2xx+1=y2x=y(x+1)2x=xy+y\begin{aligned} \frac{2x}{x + 1} &= y \\ 2x &= y(x + 1) \\ 2x &= xy + y \end{aligned}

    Verifică-te

    Ce obții după ce aduci termenii cu xx într-un membru și dai factor comun pe xx?

  2. 2. Soluția este unică și rămâne în domeniu

    Pentru y≠2y \ne 2, factorul 2−y2 - y este nenul, deci putem împărți:
    x=y2−yx = \dfrac{y}{2 - y}
    Aceasta este singura soluție posibilă. Mai trebuie să fie în domeniu, adică diferită de −1-1.

    Verifică-te

    Există y≠2y \ne 2 pentru care y2−y=−1\dfrac{y}{2 - y} = -1?
    Deci pentru fiecare y∈R∖{2}y \in \mathbb R \setminus \{2\}, ecuația f(x)=yf(x) = y are exact o soluție în R∖{−1}\mathbb R \setminus \{-1\}: ff este bijectivă, deci inversabilă. (Se vede și de ce 22 a fost scos din codomeniu: pentru y=2y = 2 ecuația ar deveni 0⋅x=20 \cdot x = 2, fără soluții.)

  3. 3. Inversa

    Inversa „inversează” domeniul și codomeniul (manual, p. 97). Cu litera xx:
    f−1 ⁣:R∖{2}→R∖{−1},f−1(x)=x2−x\begin{aligned} & f^{-1}\colon \mathbb R \setminus \{2\} \to \mathbb R \setminus \{-1\}, \\ & f^{-1}(x) = \frac{x}{2 - x} \end{aligned}
    Verificare pe un exemplu: f(−2)=−4−1=4f(-2) = \frac{-4}{-1} = 4, iar f−1(4)=42−4=−2f^{-1}(4) = \frac{4}{2 - 4} = -2. În general:
    f(f−1(x))=2x2−xx2−x+1=2x2−x22−x=x\begin{aligned} f\left(f^{-1}(x)\right) &= \frac{\frac{2x}{2 - x}}{\frac{x}{2 - x} + 1} \\ &= \frac{\frac{2x}{2 - x}}{\frac{2}{2 - x}} = x \end{aligned}
    −6−5−4−3−2−1123456−6−5−4−3−2−1123456Oxy
    y=xy = x
    ff
    f−1f^{-1}
    (−2,4)(-2, 4)
    (4,−2)(4, -2)

    Graficul lui ff nu atinge niciodată dreptele x=−1x = -1 și y=2y = 2; oglinda lui față de y=xy = x, graficul lui f−1f^{-1}, nu atinge dreptele y=−1y = -1 și x=2x = 2.

Răspuns
ff este bijectivă, deci inversabilă, iar f−1 ⁣:R∖{2}→R∖{−1}f^{-1}\colon \mathbb R \setminus \{2\} \to \mathbb R \setminus \{-1\}, f−1(x)=x2−xf^{-1}(x) = \dfrac{x}{2 - x}.