MateClar
← Capitol

Manual · pagina 99

Exercițiul 8 · O funcție pe ramuri, bijectivă

Determină m∈Rm \in \mathbb R astfel încât f ⁣:R→Rf\colon \mathbb R \to \mathbb R,

f(x)={3x−2,x≥12x+m,x<1f(x) = \begin{cases} 3x - 2, & x \ge 1 \\ 2x + m, & x < 1 \end{cases}

să fie bijectivă.

Determină m∈Rm \in \mathbb R astfel încât f ⁣:R→Rf\colon \mathbb R \to \mathbb R, f(x)=3x−2f(x) = 3x - 2 pentru x≥1x \ge 1 și f(x)=2x+mf(x) = 2x + m pentru x<1x < 1, să fie bijectivă.

Află imaginea fiecărei ramuri. Cele două imagini trebuie să acopere împreună tot R\mathbb R (surjectivă), fără să se suprapună (injectivă).

  1. 1. Imaginea fiecărei ramuri

    Ambele ramuri sunt funcții de gradul I cu pantă pozitivă, deci strict crescătoare: fiecare ramură, luată separat, ia fiecare valoare cel mult o dată.

    Ramura x≥1x \ge 1: pornește din f(1)=3−2=1{f(1) = 3 - 2 = 1} și crește nelimitat, deci ia toate valorile din [1,∞)[1, \infty) (pentru y≥1y \ge 1, soluția x=y+23x = \frac{y + 2}{3} este ≥1\ge 1).

    Ramura x<1x < 1: aici xx ia toate valorile mai mici decât 11, dar nu și 11, care aparține celeilalte ramuri.

    Verifică-te

    Ce valori ia 2x+m2x + m pentru x<1x < 1?

  2. 2. Imaginile trebuie să se lipească exact

    Ramura stângă acoperă (−∞,m+2)(-\infty, m + 2), cea dreaptă [1,∞)[1, \infty).

    Dacă m+2>1m + 2 > 1, intervalele se suprapun: o valoare din [1,m+2)[1, m + 2) este luată de ambele ramuri, deci ff nu e injectivă. De exemplu, pentru m=1m = 1, dreapta y=2y = 2 taie graficul de două ori.

    Dacă m+2<1m + 2 < 1, între ele rămâne golul [m+2,1)[m + 2, 1): valorile de acolo nu sunt luate deloc, deci ff nu e surjectivă.

    −3−2−1123−3−2−112345Oxy
    2x+12x + 1
    3x−23x - 2
    y=2y = 2

    Pentru m=1m = 1: ramura stângă urcă până la 33, peste începutul ramurii drepte. Valoarea 22 este luată de două ori, în x=12x = \frac12 și în x=43x = \frac43.

    Verifică-te

    Pentru ce mm este ff bijectivă?

  3. 3. Funcția pentru m=−1m = -1 și inversa ei

    Pentru m=−1m = -1, f(x)=2x−1f(x) = 2x - 1 pentru x<1x < 1 și f(x)=3x−2f(x) = 3x - 2 pentru x≥1x \ge 1. Ramurile se întâlnesc în punctul (1,1)(1, 1), fără salt.

    Fiind bijectivă, ff are inversă. Rezolvăm f(x)=yf(x) = y; ramura se alege după yy: valorile y≥1y \ge 1 vin din ramura dreaptă, cele y<1y < 1 din ramura stângă.

    Pentru y≥1y \ge 1:

    3x−2=y  ⟺  x=y+233x - 2 = y \iff x = \dfrac{y + 2}{3}
    Pentru y<1y < 1:
    2x−1=y  ⟺  x=y+122x - 1 = y \iff x = \dfrac{y + 1}{2}

    Verifică-te

    Cât este f−1(−3)f^{-1}(-3)?
    f−1(x)={x+23,x≥1x+12,x<1f^{-1}(x) = \begin{cases} \dfrac{x + 2}{3}, & x \ge 1 \\[4pt] \dfrac{x + 1}{2}, & x < 1 \end{cases}
    −4−3−2−11234−4−3−2−11234Oxy
    y=xy = x
    ff
    f−1f^{-1}
    (1,1)(1, 1)

    Pentru m=−1m = -1, graficul lui ff este o linie frântă fără salt. Oglinda ei față de y=xy = x este graficul lui f−1f^{-1}, frânt tot în (1,1)(1, 1); (−1,−3)(-1, -3) se oglindește în (−3,−1)(-3, -1).

Răspuns

m=−1m = -1. Atunci ff este bijectivă, cu inversa

f−1(x)={x+23,x≥1x+12,x<1f^{-1}(x) = \begin{cases} \dfrac{x + 2}{3}, & x \ge 1 \\[4pt] \dfrac{x + 1}{2}, & x < 1 \end{cases}