MateClar
← Capitol

Manual · pagina 99

Exercițiul 9 · Domeniu și codomeniu pentru x−1\sqrt{x - 1}

Precizează domeniul maxim de definiție și codomeniul pentru ca funcția ff de lege f(x)=x−1f(x) = \sqrt{x - 1} să fie inversabilă.

Precizează domeniul maxim de definiție și codomeniul pentru ca funcția ff de lege f(x)=x−1f(x) = \sqrt{x - 1} să fie inversabilă.

Domeniul: când are sens radicalul? Codomeniul: ca ff să fie surjectivă, el trebuie să fie exact mulțimea valorilor pe care le ia x−1\sqrt{x - 1}.

  1. 1. Domeniul maxim

    Domeniul maxim de definiție cuprinde toate numerele reale pentru care formula are sens. Din gimnaziu, a\sqrt a există doar pentru a≥0a \ge 0, deci cerem x−1≥0x - 1 \ge 0.

    Verifică-te

    Care este domeniul maxim de definiție?

  2. 2. Ce valori ia ff

    Injectivitatea nu depinde de codomeniu: dacă x1−1=x2−1\sqrt{x_1 - 1} = \sqrt{x_2 - 1}, prin ridicare la pătrat x1−1=x2−1x_1 - 1 = x_2 - 1, deci x1=x2x_1 = x_2. Pentru surjectivitate trebuie să știm exact ce valori ia ff pe [1,∞)[1, \infty).

    Verifică-te

    Care este mulțimea valorilor lui x−1\sqrt{x - 1}, pentru x≥1x \ge 1?
    −1123456−1123Oxy
    f(x)=x−1f(x) = \sqrt{x - 1}

    Graficul pornește din (1,0)(1, 0) și urcă nelimitat. Pe OxOx este marcat domeniul [1,∞)[1, \infty), pe OyOy imaginea [0,∞)[0, \infty).

  3. 3. Codomeniul și inversa

    Pentru surjectivitate, codomeniul trebuie să fie exact imaginea, [0,∞)[0, \infty). Un codomeniu mai mare, de exemplu R\mathbb R, ar conține valori fără niciun xx, ca −1-1. Așadar:
    f ⁣:[1,∞)→[0,∞),f(x)=x−1\begin{aligned} & f\colon [1, \infty) \to [0, \infty), \\ & f(x) = \sqrt{x - 1} \end{aligned}
    Cu acestea, ff este bijectivă, deci inversabilă. Din y=x−1y = \sqrt{x - 1} am aflat x=y2+1x = y^2 + 1, deci inversa este:
    f−1 ⁣:[0,∞)→[1,∞),f−1(x)=x2+1\begin{aligned} & f^{-1}\colon [0, \infty) \to [1, \infty), \\ & f^{-1}(x) = x^2 + 1 \end{aligned}
    −112345−112345Oxy
    y=xy = x
    ff
    f−1f^{-1}
    (2,1)(2, 1)
    (1,2)(1, 2)

    Graficul lui ff, care pornește din (1,0)(1, 0), și oglinda lui față de y=xy = x: ramura de parabolă x2+1x^2 + 1, x≥0x \ge 0, care pornește din (0,1)(0, 1).

Răspuns
Domeniul maxim este [1,∞)[1, \infty), iar codomeniul trebuie restrâns la [0,∞)[0, \infty). Atunci f ⁣:[1,∞)→[0,∞){f\colon [1, \infty) \to [0, \infty)} este bijectivă, cu inversa f−1(x)=x2+1f^{-1}(x) = x^2 + 1.