MateClar
← Capitol

Manual · pagina 82

Exercițiul 1 · Suma, produsul și câtul a două funcții

Determină suma, produsul și câtul următoarelor funcții numerice:

a) f ⁣:(0,∞)→Rf\colon (0, \infty) \to \mathbb R, f(x)=3x+2f(x) = 3x + 2 și g ⁣:(0,∞)→Rg\colon (0, \infty) \to \mathbb R, g(x)=x2+3x−2g(x) = x^2 + 3x - 2;

b) f ⁣:R→Rf\colon \mathbb R \to \mathbb R, f(x)=x+2f(x) = x + 2 și g ⁣:R∖{−2}→Rg\colon \mathbb R \setminus \{-2\} \to \mathbb R, g(x)=1x+2g(x) = \dfrac{1}{x + 2};

c) f ⁣:[−2,2]→Rf\colon [-2, 2] \to \mathbb R, f(x)=x−3f(x) = x - 3 și g ⁣:(−2,2)→Rg\colon (-2, 2) \to \mathbb R, g(x)=x2−9g(x) = x^2 - 9;

d) f ⁣:(0,∞)→Rf\colon (0, \infty) \to \mathbb R, f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{x} și g ⁣:(−3,0)→Rg\colon (-3, 0) \to \mathbb R, g(x)=1x(x+3)g(x) = \dfrac{1}{x(x + 3)}.

a)f ⁣:(0,∞)→Rf\colon (0, \infty) \to \mathbb R, f(x)=3x+2f(x) = 3x + 2 și g ⁣:(0,∞)→Rg\colon (0, \infty) \to \mathbb R, g(x)=x2+3x−2g(x) = x^2 + 3x - 2.

Suma și produsul se fac „punct cu punct”, pe tot intervalul (0,∞)(0, \infty). La cât, verifică unde se anulează numitorul g(x)g(x): acele puncte ies din domeniu.

  1. 1. Ce înseamnă suma a două funcții

    Ambele funcții sunt definite pe (0,∞)(0, \infty), deci suma și produsul au domeniul (0,∞)(0, \infty). Pentru sumă adunăm cele două legi:
    (f+g)(x)=(3x+2)+(x2+3x−2)(f + g)(x) = (3x + 2) + (x^2 + 3x - 2)

    Verifică-te

    Cât este (f+g)(x)(f + g)(x), după reducerea termenilor asemenea?

  2. 2. Produsul

    Înmulțim fiecare termen al lui f(x)f(x) cu fiecare termen al lui g(x)g(x):
    (f⋅g)(x)=(3x+2)⋅(x2+3x−2)=3x3+9x2−6x+2x2+6x−4\begin{aligned} (f \cdot g)(x) &= (3x + 2) \\ &\quad \cdot (x^2 + 3x - 2) \\ &= 3x^3 + 9x^2 - 6x \\ &\quad + 2x^2 + 6x - 4 \end{aligned}

    Verifică-te

    Ce obții după reducerea termenilor asemenea?

  3. 3. Unde se anulează gg

    La cât trebuie scoase din (0,∞)(0, \infty) punctele unde g(x)=0g(x) = 0. Rezolvăm x2+3x−2=0x^2 + 3x - 2 = 0 prin completarea pătratului (din gimnaziu):
    x2+3x−2=(x+32)2−94−2=(x+32)2−174\begin{aligned} x^2 + 3x - 2 &= \left(x + \tfrac32\right)^2 - \tfrac94 \\ &\quad - 2 \\ &= \left(x + \tfrac32\right)^2 - \tfrac{17}4 \end{aligned}
    Deci g(x)=0g(x) = 0 când (x+32)2=174\left(x + \frac32\right)^2 = \frac{17}4, adică x+32=±172x + \frac32 = \pm\frac{\sqrt{17}}2. Ecuația are două soluții, x1,2=−3±172x_{1,2} = \dfrac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}.

    Verifică-te

    Care dintre ele se află în domeniul (0,∞)(0, \infty)? (17≈4,12\sqrt{17} \approx 4{,}12)
    −0,50,511,52−3−2−1123456Oxy
    gg
    x0x_0

    Pe (0,∞)(0, \infty), graficul lui gg taie axa OxOx o singură dată, în x0=−3+172x_0 = \frac{-3 + \sqrt{17}}2.

  4. 4. Câtul

    Domeniul câtului este D1=(0,∞)∖{−3+172}D_1 = (0, \infty) \setminus \left\{\frac{-3 + \sqrt{17}}2\right\} și pe el:
    (fg)(x)=3x+2x2+3x−2\left(\frac fg\right)(x) = \frac{3x + 2}{x^2 + 3x - 2}
Răspuns

Pe (0,∞)(0, \infty): (f+g)(x)=x2+6x(f + g)(x) = x^2 + 6x și (f⋅g)(x)=3x3+11x2−4(f \cdot g)(x) = 3x^3 + 11x^2 - 4.

(fg)(x)=3x+2x2+3x−2\left(\dfrac fg\right)(x) = \dfrac{3x + 2}{x^2 + 3x - 2}, pe (0,∞)∖{−3+172}(0, \infty) \setminus \left\{\dfrac{-3 + \sqrt{17}}2\right\}.

b)f ⁣:R→Rf\colon \mathbb R \to \mathbb R, f(x)=x+2f(x) = x + 2 și g ⁣:R∖{−2}→Rg\colon \mathbb R \setminus \{-2\} \to \mathbb R, g(x)=1x+2g(x) = \dfrac{1}{x + 2}.

Cele două funcții au domenii diferite. Operațiile se pot face doar acolo unde sunt definite amândouă.

  1. 1. Pe ce mulțime lucrăm

    ff este definită pe tot R\mathbb R. Funcția gg nu este definită acolo unde numitorul x+2x + 2 se anulează.

    Verifică-te

    Pe ce mulțime se definesc f+gf + g și f⋅gf \cdot g?

  2. 2. Suma

    Aducem la numitorul comun x+2x + 2:
    (f+g)(x)=x+2+1x+2=(x+2)2+1x+2\begin{aligned} (f + g)(x) &= x + 2 + \frac{1}{x + 2} \\ &= \frac{(x + 2)^2 + 1}{x + 2} \end{aligned}

    Verifică-te

    Cât este numărătorul (x+2)2+1(x + 2)^2 + 1, desfăcut?

  3. 3. Produsul și câtul

    Pentru x≠−2x \ne -2 factorul x+2x + 2 se simplifică:
    (f⋅g)(x)=(x+2)⋅1x+2=1(f \cdot g)(x) = (x + 2) \cdot \frac{1}{x + 2} = 1
    Produsul este funcția constantă 11, dar numai pe R∖{−2}\mathbb R \setminus \{-2\}. Numitorul g(x)=1x+2g(x) = \frac{1}{x + 2} nu este niciodată 00 (o fracție cu numărătorul 11 nu se anulează), deci și câtul are domeniul R∖{−2}\mathbb R \setminus \{-2\}.

    Verifică-te

    Cât este (fg)(x)=x+21x+2\left(\dfrac fg\right)(x) = \dfrac{x + 2}{\frac{1}{x + 2}}?
Răspuns

Pe R∖{−2}\mathbb R \setminus \{-2\}:

(f+g)(x)=x2+4x+5x+2(f + g)(x) = \dfrac{x^2 + 4x + 5}{x + 2}, (f⋅g)(x)=1(f \cdot g)(x) = 1, (fg)(x)=(x+2)2\left(\dfrac fg\right)(x) = (x + 2)^2.

c)f ⁣:[−2,2]→Rf\colon [-2, 2] \to \mathbb R, f(x)=x−3f(x) = x - 3 și g ⁣:(−2,2)→Rg\colon (-2, 2) \to \mathbb R, g(x)=x2−9g(x) = x^2 - 9.

Mai întâi găsește mulțimea pe care sunt definite ambele funcții. La cât, descompune x2−9x^2 - 9.

  1. 1. Domeniul comun

    Domeniul lui ff are capetele incluse, al lui gg nu.

    Verifică-te

    Cât este [−2,2]∩(−2,2)[-2, 2] \cap (-2, 2)?

  2. 2. Suma și produsul

    Pentru x∈(−2,2)x \in (-2, 2):
    (f+g)(x)=x−3+x2−9=x2+x−12(f⋅g)(x)=(x−3)(x2−9)=x3−3x2−9x+27\begin{aligned} (f + g)(x) &= x - 3 + x^2 - 9 \\ &= x^2 + x - 12 \\[4pt] (f \cdot g)(x) &= (x - 3)(x^2 - 9) \\ &= x^3 - 3x^2 \\ &\quad - 9x + 27 \end{aligned}

  3. 3. Câtul

    Mai întâi, unde se anulează gg? x2−9=0x^2 - 9 = 0 doar pentru x=±3x = \pm 3, care nu sunt în (−2,2)(-2, 2). Pe (−2,2)(-2, 2) avem x2<4x^2 < 4, deci g(x)=x2−9<0g(x) = x^2 - 9 < 0: câtul are tot domeniul (−2,2)(-2, 2).
    Descompunem diferența de pătrate (din gimnaziu), x2−9=(x−3)(x+3)x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3), și simplificăm cu x−3≠0x - 3 \ne 0:
    (fg)(x)=x−3(x−3)(x+3)\left(\frac fg\right)(x) = \frac{x - 3}{(x - 3)(x + 3)}

    Verifică-te

    Ce rămâne după simplificare?
Răspuns

Pe (−2,2)(-2, 2):

(f+g)(x)=x2+x−12,(f⋅g)(x)=x3−3x2−9x+27,(fg)(x)=1x+3\begin{aligned} (f + g)(x) &= x^2 + x - 12, \\ (f \cdot g)(x) &= x^3 - 3x^2 - 9x + 27, \\ \left(\frac fg\right)(x) &= \frac{1}{x + 3} \end{aligned}

d)f ⁣:(0,∞)→Rf\colon (0, \infty) \to \mathbb R, f(x)=1xf(x) = \dfrac1x și g ⁣:(−3,0)→Rg\colon (-3, 0) \to \mathbb R, g(x)=1x(x+3)g(x) = \dfrac{1}{x(x + 3)}.

Înainte de orice calcul, caută un număr xx pentru care să existe și f(x)f(x), și g(x)g(x).

  1. 1. Unde există ambele valori

    Pentru (f+g)(x)=f(x)+g(x)(f + g)(x) = f(x) + g(x) avem nevoie de un xx din ambele domenii: x∈(0,∞)x \in (0, \infty) și x∈(−3,0)x \in (-3, 0).

    Verifică-te

    Cât este (0,∞)∩(−3,0)(0, \infty) \cap (-3, 0)?
    −4−3−2−11234−4−3−2−11234Oxy
    ff
    gg

    ff este definită doar la dreapta lui 00, gg doar între −3-3 și 00: nicio verticală nu taie ambele grafice.

  2. 2. Concluzia

    Nu există niciun xx pentru care să putem calcula și f(x)f(x), și g(x)g(x). Deci f+gf + g, f⋅gf \cdot g și fg\frac fg nu se pot defini: n-ar avea niciun punct în domeniu.
Răspuns
Domeniile (0,∞)(0, \infty) și (−3,0)(-3, 0) sunt disjuncte (intersecția lor este ∅\varnothing), deci suma, produsul și câtul lui ff și gg nu se pot defini.