MateClar
← Capitol

Manual · pagina 83

Exercițiul 10 · Monotonia lui f∘gf \circ g

Studiază monotonia lui f∘gf \circ g, unde f,g:R→Rf, g : \mathbb R \to \mathbb R sunt două funcții date prin legile:

a) f(x)=x3f(x) = x^3, g(x)=2x+5g(x) = 2x + 5;

b) f(x)=−3x+2f(x) = -3x + 2, g(x)=x3+1g(x) = x^3 + 1.

a)f(x)=x3f(x) = x^3, g(x)=2x+5g(x) = 2x + 5.

Află separat monotonia lui gg și a lui ff (de exemplu cu raportul de variație), apoi vezi ce se întâmplă când le aplici una după alta.

  1. 1. Legea lui f∘gf \circ g

    În f∘gf \circ g se aplică întâi gg, apoi ff (manual, p. 80): (f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x)).

    Verifică-te

    Cât este (f∘g)(x)(f \circ g)(x)?
    Am putea desface cubul, dar nu e nevoie: monotonia compusei se poate afla din monotonia celor două funcții.

  2. 2. Regula de la p. 81 și monotonia lui gg

    Pentru g(x)=2x+5g(x) = 2x + 5: Rg(x1,x2)=2x1−2x2x1−x2=2>0R_g(x_1, x_2) = \dfrac{2x_1 - 2x_2}{x_1 - x_2} = 2 > 0, deci gg este strict crescătoare.

  3. 3. Monotonia lui f(x)=x3f(x) = x^3

    Ca să simplificăm fracția, descompunem x13−x23x_1^3 - x_2^3 cu formula pentru diferența de cuburi (din capitolul 2, manual, p. 44).

    Verifică-te

    Cât este Rf(x1,x2)=x13−x23x1−x2R_f(x_1, x_2) = \dfrac{x_1^3 - x_2^3}{x_1 - x_2}?
    Restrângând pătratul (din gimnaziu), ca în exemplul cu 2x3+x−32x^3 + x - 3 de la p. 72:
    x12+x1x2+x22=(x1+x22)2+3x224\begin{aligned} &x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2 \\ &= \left(x_1 + \dfrac{x_2}{2}\right)^2 + \dfrac{3x_2^2}{4} \end{aligned}
    Ambii termeni sunt ≥0\ge 0, iar suma ar fi 00 doar pentru x2=0x_2 = 0 și x1=0x_1 = 0, adică x1=x2x_1 = x_2, ceea ce nu e cazul. Deci Rf>0R_f > 0: f(x)=x3f(x) = x^3 este strict crescătoare.

  4. 4. Concluzia

    Verifică-te

    Ce monotonie are f∘gf \circ g?
    Direct: dacă x1<x2x_1 < x_2, atunci 2x1+5<2x2+52x_1 + 5 < 2x_2 + 5 (gg crește), iar apoi (2x1+5)3<(2x2+5)3(2x_1 + 5)^3 < (2x_2 + 5)^3 (ff crește).
    −4−3−2−11−8−6−4−22468Oxy
    f∘gf \circ g
    (−2,5; 0)(-2{,}5;\ 0)

    Graficul lui (2x+5)3(2x + 5)^3 urcă mereu, de la stânga la dreapta.

Răspuns
(f∘g)(x)=(2x+5)3(f \circ g)(x) = (2x + 5)^3 este strict crescătoare pe R\mathbb R, pentru că gg și ff sunt amândouă strict crescătoare.

b)f(x)=−3x+2f(x) = -3x + 2, g(x)=x3+1g(x) = x^3 + 1.

Una dintre funcții crește, cealaltă scade. Ce face un număr mai mare când trece prin ambele?

  1. 1. Legea lui f∘gf \circ g

    Se aplică întâi gg, apoi ff (manual, p. 80): în f(x)=−3x+2f(x) = -3x + 2 înlocuim xx cu g(x)=x3+1g(x) = x^3 + 1.
    (f∘g)(x)=−3(x3+1)+2(f \circ g)(x) = -3(x^3 + 1) + 2

    Verifică-te

    Cât este (f∘g)(x)(f \circ g)(x), după ce desfaci paranteza?

  2. 2. Monotonia lui gg și a lui ff

    g(x)=x3+1g(x) = x^3 + 1. Cu raportul de variație (manual, p. 70) și a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) (din capitolul 2, manual, p. 44):

    Rg(x1,x2)=x13−x23x1−x2R_g(x_1, x_2) = \dfrac{x_1^3 - x_2^3}{x_1 - x_2}, adică Rg(x1,x2)=x12+x1x2+x22{R_g(x_1, x_2) = x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2}.

    Restrângând pătratul, x12+x1x2+x22x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2 se scrie (x1+x22)2+3x224\left(x_1 + \frac{x_2}{2}\right)^2 + \frac{3x_2^2}{4}, număr pozitiv pentru x1≠x2x_1 \ne x_2. Deci gg este strict crescătoare (adunarea lui 11 nu schimbă nimic).

    Verifică-te

    Ce monotonie are f(x)=−3x+2f(x) = -3x + 2?

  3. 3. Concluzia

    Verifică-te

    Ce monotonie are f∘gf \circ g?
    Direct: dacă x1<x2x_1 < x_2, atunci x13+1<x23+1x_1^3 + 1 < x_2^3 + 1, iar înmulțind cu −3-3 inegalitatea se inversează: −3(x13+1)+2>−3(x23+1)+2-3(x_1^3 + 1) + 2 > -3(x_2^3 + 1) + 2, adică (f∘g)(x1)>(f∘g)(x2)(f \circ g)(x_1) > (f \circ g)(x_2).
    −2−112−6−5−4−3−2−11234Oxy
    f∘gf \circ g
    (0,−1)(0, -1)

    Graficul lui −3x3−1-3x^3 - 1 coboară mereu, de la stânga la dreapta.

Răspuns
(f∘g)(x)=−3x3−1(f \circ g)(x) = -3x^3 - 1 este strict descrescătoare pe R\mathbb R, pentru că gg este strict crescătoare, iar ff strict descrescătoare.