MateClar
← Capitol

Manual · pagina 83

Exercițiul 11 · ff compusă cu ea însăși de nn ori

Se consideră funcțiile:

a) f:R→Rf : \mathbb R \to \mathbb R, f(x)=x+1f(x) = x + 1;

b) f:R→Rf : \mathbb R \to \mathbb R, f(x)=2x+3f(x) = 2x + 3;

c) f:R→Rf : \mathbb R \to \mathbb R, f(x)=−x+3f(x) = -x + 3;

d) f:R→Rf : \mathbb R \to \mathbb R, f(x)=ax+bf(x) = ax + b.

Calculează f∘f∘…∘ff \circ f \circ \ldots \circ f (de nn ori), nn număr natural, n≥2n \ge 2.

a)f:R→Rf : \mathbb R \to \mathbb R, f(x)=x+1f(x) = x + 1.

Calculează f∘ff \circ f și f∘f∘ff \circ f \circ f. Ce face ff cu un număr de fiecare dată când o aplici?

  1. 1. Ce se cere și o notație

    Notăm fn=f∘f∘…∘ff_n = f \circ f \circ \ldots \circ f, cu ff scrisă de nn ori. Atunci f1=ff_1 = f și, pentru orice nn,

    fn+1(x)=f(fn(x))f_{n+1}(x) = f(f_n(x)): ca să treci de la fnf_n la fn+1f_{n+1}, mai aplici o dată ff.

    Calculăm primele compuneri, ghicim regula, apoi o demonstrăm prin inducție (din capitolul 1, manual, p. 23).

  2. 2. Primele compuneri

    Verifică-te

    Cât este f2(x)=f(f(x))=f(x+1)f_2(x) = f(f(x)) = f(x + 1)?
    Încă o dată: f3(x)=f(f2(x))f_3(x) = f(f_2(x)) =f(x+2)= f(x + 2) =x+3= x + 3. Fiecare aplicare a lui ff adaugă 11, deci bănuim că fn(x)=x+nf_n(x) = x + n.

    Verifică-te

    Folosind regula bănuită, cât este f10(5)f_{10}(5)?

  3. 3. Demonstrația prin inducție

    Fie P(n)P(n): fn(x)=x+nf_n(x) = x + n pentru orice x∈Rx \in \mathbb R.

    Verificare: P(1)P(1): f1(x)=f(x)=x+1f_1(x) = f(x) = x + 1, adevărat.

    Pasul de inducție: presupunem fk(x)=x+kf_k(x) = x + k. Atunci fk+1(x)=f(fk(x))f_{k+1}(x) = f(f_k(x)) =f(x+k)= f(x + k) =x+k+1= x + k + 1, adică P(k+1)P(k + 1).

    Deci P(n)P(n) este adevărată pentru orice n≥1n \ge 1, în particular pentru orice n≥2n \ge 2.

Răspuns
(f∘f∘…∘f)(x)=x+n(f \circ f \circ \ldots \circ f)(x) = x + n (ff compusă de nn ori).

b)f:R→Rf : \mathbb R \to \mathbb R, f(x)=2x+3f(x) = 2x + 3.

Calculează câteva compuneri. Coeficientul lui xx se dublează de fiecare dată; pentru termenul liber, adună-i 33 și uită-te la ce obții.

  1. 1. Ce se cere și o notație

    Notăm fn=f∘f∘…∘ff_n = f \circ f \circ \ldots \circ f (nn ori). Atunci f1=ff_1 = f și fn+1(x)=f(fn(x))=2fn(x)+3f_{n+1}(x) = f(f_n(x)) = 2f_n(x) + 3: la fiecare pas, rezultatul se dublează și i se adună 33.

    Verifică-te

    Cât este f2(x)=f(2x+3)f_2(x) = f(2x + 3)?

  2. 2. Căutăm regula

    xxff2x+32x + 3ff4x+94x + 9ff8x+218x + 21
    Coeficientul lui xx se dublează la fiecare pas: în fnf_n el este 2n2^n. Pentru termenul liber cnc_n facem un tabel, cu f4(x)=2(8x+21)+3=16x+45f_4(x) = 2(8x + 21) + 3 = 16x + 45:
    nncnc_ncn+3c_n + 3
    113366
    22991212
    3321212424
    4445454848

    Verifică-te

    Ultima coloană se dublează și ea. Ce formulă are cnc_n?
    Altfel spus, cn=3(1+2+22+…+2n−1)c_n = 3(1 + 2 + 2^2 + \ldots + 2^{n-1}), suma unei progresii geometrice de rație 22 (din capitolul 2, manual, p. 43), adică 3(2n−1)3(2^n - 1).

  3. 3. Demonstrația prin inducție

    Fie P(n)P(n): fn(x)=2nx+3(2n−1)f_n(x) = 2^n x + 3(2^n - 1) pentru orice xx (inducția, din capitolul 1, manual, p. 23).

    Verificare: P(1)P(1): 2x+3(2−1)=2x+3=f(x)2x + 3(2 - 1) = 2x + 3 = f(x), adevărat.

    Pasul de inducție: presupunem P(k)P(k) adevărată. Atunci

    fk+1(x)=2fk(x)+3=2k+1x+6(2k−1)+3=2k+1x+3⋅2k+1−3=2k+1x+3(2k+1−1)\begin{aligned} &f_{k+1}(x) = 2f_k(x) + 3 \\ &= 2^{k+1}x + 6(2^k - 1) + 3 \\ &= 2^{k+1}x + 3 \cdot 2^{k+1} - 3 \\ &= 2^{k+1}x + 3(2^{k+1} - 1) \end{aligned}
    adică P(k+1)P(k + 1). Deci formula este adevărată pentru orice n≥1n \ge 1. Verificare: pentru n=3n = 3 dă 8x+218x + 21, ca în lanțul de mai sus.
Răspuns
(f∘f∘…∘f)(x)=2nx+3(2n−1)(f \circ f \circ \ldots \circ f)(x) = 2^n x + 3(2^n - 1) (ff compusă de nn ori).

c)f:R→Rf : \mathbb R \to \mathbb R, f(x)=−x+3f(x) = -x + 3.

Calculează întâi f∘ff \circ f. Rezultatul e surprinzător de simplu, iar restul vine de la sine.

  1. 1. Calculăm f∘ff \circ f

    Notăm fn=f∘f∘…∘ff_n = f \circ f \circ \ldots \circ f (nn ori); compunerea fiind asociativă (manual, p. 80), parantezele nu contează. Începem cu f2f_2:
    f2(x)=f(f(x))=−(−x+3)+3\begin{aligned} f_2(x) &= f(f(x)) \\ &= -(-x + 3) + 3 \end{aligned}

    Verifică-te

    Cât este f2(x)f_2(x)?

  2. 2. Ce înseamnă f∘f=1Rf \circ f = 1_{\mathbb R}

    Deci f∘f=1Rf \circ f = 1_{\mathbb R}: aplicată de două ori, ff ne întoarce de unde am plecat. Pe numere:
    R\mathbb R
    R\mathbb R
    R\mathbb R
    ff
    ff
    00
    11
    22
    33
    33
    22
    11
    00
    00
    11
    22
    33

    ff schimbă între ele 00 și 33, 11 și 22; a doua aplicare le pune la loc.

    Atunci f3=f∘f2=f∘1R=ff_3 = f \circ f_2 = f \circ 1_{\mathbb R} = f, f4=f∘f3=f∘f=1Rf_4 = f \circ f_3 = f \circ f = 1_{\mathbb R}, și tot așa: fiecare pereche f∘ff \circ f „se anulează”.

    Verifică-te

    Cât este f7(x)f_7(x)?

  3. 3. Regula generală

    Pentru orice nn, fn+2=fn∘(f∘f)=fn∘1R=fnf_{n+2} = f_n \circ (f \circ f) = f_n \circ 1_{\mathbb R} = f_n. Pornind de la f2=1Rf_2 = 1_{\mathbb R} și f3=ff_3 = f, pas cu pas din 22 în 22 (prin inducție, din capitolul 1):

    pentru nn par, fn(x)=xf_n(x) = x;

    pentru nn impar, fn(x)=−x+3f_n(x) = -x + 3.

Răspuns
(f∘f∘…∘f)(x)(f \circ f \circ \ldots \circ f)(x), cu ff compusă de nn ori, este xx dacă nn este par și −x+3-x + 3 dacă nn este impar.

d)f:R→Rf : \mathbb R \to \mathbb R, f(x)=ax+bf(x) = ax + b.

Calculează f∘ff \circ f și f∘f∘ff \circ f \circ f fără să desfaci produsele de forma a2ba^2 b. Termenul liber este o sumă pe care ai mai întâlnit-o în capitolul 2.

  1. 1. Primele compuneri

    Notăm fn=f∘f∘…∘ff_n = f \circ f \circ \ldots \circ f (nn ori); compunerea e asociativă (manual, p. 80), deci fn+1(x)=f(fn(x))=afn(x)+bf_{n+1}(x) = f(f_n(x)) = a f_n(x) + b.

    Verifică-te

    Cât este f2(x)=f(ax+b)f_2(x) = f(ax + b)?
    Încă un pas:
    f3(x)=a(a2x+ab+b)+b=a3x+a2b+ab+b\begin{aligned} f_3(x) &= a(a^2 x + ab + b) + b \\ &= a^3 x + a^2 b + ab + b \end{aligned}
    Scoțând bb factor comun, regula pare a fi:
    fn(x)=anx+b⋅S, undeS=an−1+…+a+1\begin{aligned} f_n(x) &= a^n x + b \cdot S, \ \text{unde} \\ S &= a^{n-1} + \ldots + a + 1 \end{aligned}

    Verifică-te

    Câți termeni are suma an−1+an−2+…+a+1a^{n-1} + a^{n-2} + \ldots + a + 1?

  2. 2. Suma progresiei geometrice

    Pentru a≠1a \ne 1 obținem deci
    fn(x)=anx+b⋅an−1a−1f_n(x) = a^n x + b \cdot \dfrac{a^n - 1}{a - 1}

    Verifică-te

    Ce devine fn(x)f_n(x) pentru a=1a = 1, adică pentru f(x)=x+bf(x) = x + b?

  3. 3. Demonstrația prin inducție și verificarea

    Pentru a≠1a \ne 1, fie P(n)P(n): fn(x)=anx+b⋅an−1a−1f_n(x) = a^n x + b \cdot \frac{a^n - 1}{a - 1} (inducția, din capitolul 1, manual, p. 23). P(1)P(1): ax+bax + b, adevărat. Dacă P(k)P(k) e adevărată:
    fk+1(x)=afk(x)+b=ak+1x+b(ak+1−a)a−1+b=ak+1x+b(ak+1−1)a−1\begin{aligned} &f_{k+1}(x) = a f_k(x) + b \\ &= a^{k+1}x + \frac{b(a^{k+1} - a)}{a - 1} + b \\ &= a^{k+1}x + \frac{b(a^{k+1} - 1)}{a - 1} \end{aligned}
    La ultimul pas am scris b=b(a−1)a−1b = \dfrac{b(a - 1)}{a - 1}, iar la numărător −a+a-a + a s-a redus. Deci P(k+1)P(k + 1) e adevărată.
    Pentru a=1a = 1: fk+1(x)=fk(x)+bf_{k+1}(x) = f_k(x) + b =x+kb+b= x + kb + b =x+(k+1)b= x + (k + 1)b. Formula generală regăsește punctele anterioare:
    f(x)f(x)fn(x)f_n(x)
    x+1x + 1 (a=1a = 1)x+nx + n
    2x+32x + 3 (a=2a = 2)2nx+3(2n−1)2^n x + 3(2^n - 1)
    −x+3-x + 3 (a=−1a = -1)(−1)nx+3(1−(−1)n)2(-1)^n x + \frac{3(1 - (-1)^n)}{2}
    Pe ultimul rând, pentru nn par se obține xx, iar pentru nn impar −x+3-x + 3, exact ca la c).
Răspuns

Cu fn=f∘f∘…∘ff_n = f \circ f \circ \ldots \circ f (nn ori):

pentru a≠1a \ne 1, fn(x)=anx+b⋅an−1a−1f_n(x) = a^n x + b \cdot \dfrac{a^n - 1}{a - 1};

pentru a=1a = 1, fn(x)=x+nbf_n(x) = x + nb.