Manual · pagina 83

Exercițiul 12 · Compunerea cu o funcție mărginită

a) Demonstrează că dacă $f : \mathbb R \to \mathbb R$ este mărginită, atunci oricare ar fi $g : \mathbb R \to \mathbb R$ , $f \circ g$ este mărginită.

b) Verifică faptul că funcțiile $f : \mathbb R \to \mathbb R$ sunt mărginite:

i) $f(x) = \{x^3 + x + 3\}$ ;

ii) $f(x) = \dfrac{2(x + 1)^2}{(x + 1)^4 + 1}$ .

( $\{t\}$ este partea fracționară a numărului real $t$ .)

a)Demonstrează că dacă $f : \mathbb R \to \mathbb R$ este mărginită, atunci oricare ar fi $g : \mathbb R \to \mathbb R$ , $f \circ g$ este mărginită.

Orice valoare

(f \circ g)(x) = f(g(x))

este, de fapt, o valoare a lui

f

. În ce punct?

1. Ce înseamnă mărginită, pe un exemplu
Funcție mărginită (manual, p. 72)
$f : D \to \mathbb R$ este mărginită dacă există $m, M \in \mathbb R$ astfel încât $m \le f(x) \le M$ pentru orice $x \in D$ : graficul stă într-o bandă orizontală.
Exemplu: $f(y) = \dfrac{1}{y^2 + 1}$ . Numitorul este cel puțin $1$ , deci $0 < f(y) \le 1$ pentru orice $y$ : $f$ este mărginită.
Luăm o funcție $g$ care nu e deloc mărginită, $g(x) = x^3$ . Atunci $(f \circ g)(x) = f(x^3) = \dfrac{1}{x^6 + 1}$ .
Verifică-te
Este $(f \circ g)(x) = \dfrac{1}{x^6 + 1}$ mărginită?
2. Demonstrația
Fie $f$ mărginită: există $m, M$ cu $m \le f(y) \le M$ pentru orice $y \in \mathbb R$ .
Fie $g : \mathbb R \to \mathbb R$ oarecare și $x \in \mathbb R$ fixat. Vrem să arătăm că și $f(g(x))$ este între $m$ și $M$ .
Verifică-te
De ce este $m \le f(g(x)) \le M$ ?
$m \le f(g(x)) \le M, \quad \forall x \in \mathbb R$
Adică $m \le (f \circ g)(x) \le M$ pentru orice $x$ : $f \circ g$ este mărginită, chiar cu aceleași margini ca $f$ .
Graficul lui $\frac{1}{x^6 + 1}$ rămâne între $y = 0$ și $y = 1$ , banda lui $f$ .
3. Ordinea contează
Pentru $g \circ f$ concluzia nu mai e valabilă. Cu același $f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1} \in (0, 1]$ și $g(y) = \dfrac1y$ pentru $y \ne 0$ , $g(0) = 0$ :
$(g \circ f)(x) = \dfrac{1}{f(x)} = x^2 + 1$ , care crește oricât, deci nu e mărginită.
Contează funcția aplicată ultima: dacă ea e mărginită, compusa e sigur mărginită (dacă nu, compusa poate fi nemărginită, ca aici).

Răspuns

Dacă

m \le f(y) \le M

pentru orice

y \in \mathbb R

, atunci, pentru orice

x

, cu

y = g(x)

obținem

m \le (f \circ g)(x) \le M

. Deci

f \circ g

este mărginită, oricare ar fi

g

b)
Verifică faptul că funcțiile $f : \mathbb R \to \mathbb R$ sunt mărginite:
i) $f(x) = \{x^3 + x + 3\}$ ;
ii) $f(x) = \dfrac{2(x + 1)^2}{(x + 1)^4 + 1}$ .

Scrie fiecare funcție ca o compunere în care funcția aplicată ultima este mărginită, apoi folosește a). La ii), notează

t = (x + 1)^2

1. i) Partea fracționară
Partea fracționară (din gimnaziu)
Orice număr real se scrie $t = [t] + \{t\}$ , cu $[t]$ întreg și $0 \le \{t\} < 1$ . De exemplu $\{7{,}25\} = 0{,}25$ și $\{-1{,}5\} = 0{,}5$ .
Ideea de la a): dacă scriem $f = u \circ g$ cu $u$ mărginită, atunci $f$ este mărginită, oricum ar fi $g$ .
Verifică-te
Cum se scrie $f(x) = \{x^3 + x + 3\}$ ca o compunere $u \circ g$ ?
Funcția $u(t) = \{t\}$ este mărginită: $0 \le u(t) < 1$ pentru orice $t$ . După a), $f = u \circ g$ este mărginită:
$0 \le f(x) < 1, \quad \forall x \in \mathbb R$
De exemplu, $f(1) = \{5\} = 0$ și $f(0{,}5) = \{3{,}625\} = 0{,}625$ .
2. ii) O substituție
Expresia $(x + 1)^2$ apare și la numărător, și la numitor. Notăm $t = (x + 1)^2$ ; atunci $t \ge 0$ , iar $f(x) = h(t)$ , cu $h(t) = \dfrac{2t}{t^2 + 1}$ : tot o compunere, $f = h \circ k$ , unde $k(x) = (x + 1)^2$ .
Verifică-te
De ce numitorul $(x + 1)^4 + 1$ devine $t^2 + 1$ ?
3. ii) Marginile lui $\frac{2t}{t^2 + 1}$ pentru $t \ge 0$
Ca în exemplul cu medicamentul de la p. 73 ( $\frac{4x}{x^2 + 1} \le 2$ ), comparăm numărătorul cu numitorul. Jos: pentru $t \ge 0$ , $h(t) \ge 0$ . Sus: $h(t) \le 1$ înseamnă $2t \le t^2 + 1$ .
Verifică-te
De ce este adevărată inegalitatea $2t \le t^2 + 1$ ?
Deci $0 \le f(x) \le 1$ pentru orice $x$ : $f$ este mărginită. (Și fără $t \ge 0$ , din ${(t + 1)^2 \ge 0}$ rezultă $h(t) \ge -1$ , deci $h$ e mărginită pe tot $\mathbb R$ , iar a) dă direct concluzia.)
Marginile sunt chiar atinse. Valoarea $0$ se obține pentru $t = 0$ , adică $x = -1$ . Valoarea $1$ se obține pentru $t = 1$ , adică $(x + 1)^2 = 1$ .
Verifică-te
Pentru ce valori ale lui $x$ este $f(x) = 1$ ?
Graficul de la ii) stă între $y = 0$ și $y = 1$ și le atinge în $x = -1$ , respectiv $x = -2$ și $x = 0$ .

Răspuns

i) $0 \le f(x) < 1$ , deoarece $f = u \circ g$ cu $u(t) = \{t\}$ mărginită.

ii) $0 \le f(x) \le 1$ , deoarece, cu $t = (x + 1)^2 \ge 0$ , $f(x) = \frac{2t}{t^2 + 1}$ și $2t \le t^2 + 1$ .

Ambele funcții sunt mărginite.

Exercițiul 12 · Compunerea cu o funcție mărginită

a)Demonstrează că dacă f:R→Rf : \mathbb R \to \mathbb Rf:R→R este mărginită, atunci oricare ar fi g:R→Rg : \mathbb R \to \mathbb Rg:R→R, f∘gf \circ gf∘g este mărginită.

1. Ce înseamnă mărginită, pe un exemplu ✓

2. Demonstrația ✓

3. Ordinea contează ✓

b)Verifică faptul că funcțiile f:R→Rf : \mathbb R \to \mathbb Rf:R→R sunt mărginite:i) f(x)={x3+x+3}f(x) = \{x^3 + x + 3\}f(x)={x3+x+3};ii) f(x)=2(x+1)2(x+1)4+1f(x) = \dfrac{2(x + 1)^2}{(x + 1)^4 + 1}f(x)=(x+1)4+12(x+1)2​.

1. i) Partea fracționară ✓

2. ii) O substituție ✓

3. ii) Marginile lui 2tt2+1\frac{2t}{t^2 + 1}t2+12t​ pentru t≥0t \ge 0t≥0 ✓

a)Demonstrează că dacă $f : \mathbb R \to \mathbb R$ este mărginită, atunci oricare ar fi $g : \mathbb R \to \mathbb R$ , $f \circ g$ este mărginită.

1. Ce înseamnă mărginită, pe un exemplu

2. Demonstrația

3. Ordinea contează

b)
Verifică faptul că funcțiile $f : \mathbb R \to \mathbb R$ sunt mărginite:
i) $f(x) = \{x^3 + x + 3\}$ ;
ii) $f(x) = \dfrac{2(x + 1)^2}{(x + 1)^4 + 1}$ .

1. i) Partea fracționară

2. ii) O substituție

3. ii) Marginile lui $\frac{2t}{t^2 + 1}$ pentru $t \ge 0$