MateClar
← Capitol

Manual · pagina 83

Exercițiul 13 · Monotonie și mărginire

a) Demonstrează că dacă f:[a,b]→Rf : [a, b] \to \mathbb R este monotonă, atunci ff este mărginită.

b) Demonstrează că pentru f,g:R→Rf, g : \mathbb R \to \mathbb R, ff monotonă și Im⁡g=[a,b]\operatorname{Im} g = [a, b], f∘gf \circ g este mărginită.

a)Demonstrează că dacă f:[a,b]→Rf : [a, b] \to \mathbb R este monotonă, atunci ff este mărginită.

Orice xx din domeniu este între aa și bb. Ce spune monotonia despre f(x)f(x), comparat cu f(a)f(a) și f(b)f(b)?

  1. 1. Un exemplu

    Fie f:[2,4]→Rf : [2, 4] \to \mathbb R, f(x)=x24f(x) = \dfrac{x^2}{4}. Pentru numere pozitive, cu cât xx e mai mare, cu atât x2x^2 e mai mare, deci ff este crescătoare.

    Verifică-te

    Între ce valori se află f(x)f(x), pentru x∈[2,4]x \in [2, 4]?
    1234512345Oxy
    ff
    (a,f(a))(a, f(a))
    (b,f(b))(b, f(b))

    O funcție crescătoare pe [a,b][a, b] pornește din f(a)f(a) și urcă până la f(b)f(b): toate valorile sunt pe porțiunea colorată a axei OyOy.

  2. 2. Demonstrația

    Cazul ff crescătoare. Fie x∈[a,b]x \in [a, b], adică a≤x≤ba \le x \le b.

    Din a≤xa \le x și monotonie: f(a)≤f(x)f(a) \le f(x). Din x≤bx \le b: f(x)≤f(b)f(x) \le f(b). Deci

    f(a)≤f(x)≤f(b),pentru orice x∈[a,b]\begin{aligned} &f(a) \le f(x) \le f(b), \\ &\text{pentru orice } x \in [a, b] \end{aligned}
    și ff este mărginită, cu m=f(a)m = f(a) și M=f(b)M = f(b). Mai mult, aceste margini sunt chiar minimul și maximul lui ff.

    Verifică-te

    Cazul ff descrescătoare. Ce inegalitate obții pentru x∈[a,b]x \in [a, b]?
    În ambele cazuri ff este mărginită: valorile ei sunt între f(a)f(a) și f(b)f(b).

  3. 3. De ce contează intervalul închis

    Demonstrația a folosit numerele f(a)f(a) și f(b)f(b), deci capetele trebuie să fie în domeniu.

    Fără ele, concluzia poate să cadă: f:(0,1]→Rf : (0, 1] \to \mathbb R, f(x)=1xf(x) = \dfrac1x, este descrescătoare, dar f(1n)=nf\left(\frac1n\right) = n crește oricât. Capătul 00 lipsește din domeniu, iar „f(0)f(0)” nu există.

Răspuns
Dacă ff este crescătoare, f(a)≤f(x)≤f(b)f(a) \le f(x) \le f(b) pentru orice x∈[a,b]x \in [a, b]; dacă este descrescătoare, f(b)≤f(x)≤f(a)f(b) \le f(x) \le f(a). În ambele cazuri ff este mărginită.

b)Demonstrează că pentru f,g:R→Rf, g : \mathbb R \to \mathbb R, ff monotonă și Im⁡g=[a,b]\operatorname{Im} g = [a, b], f∘gf \circ g este mărginită.

ff nu e neapărat mărginită pe tot R\mathbb R, dar în f∘gf \circ g ea primește doar numere din [a,b][a, b]. Folosește a).

  1. 1. Un exemplu

    Fie f(x)=x3f(x) = x^3, strict crescătoare (ca la exercițiul 10), dar nemărginită: f(10)=1000f(10) = 1000, f(100)=106f(100) = 10^6…

    Fie g(x)=2xx2+1g(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}. Din (∣x∣−1)2≥0(|x| - 1)^2 \ge 0 (din gimnaziu) rezultă 2∣x∣≤x2+12|x| \le x^2 + 1, deci −1≤g(x)≤1-1 \le g(x) \le 1, cu g(−1)=−1g(-1) = -1 și g(1)=1g(1) = 1. Valorile lui gg stau în [−1,1][-1, 1] (de fapt, Im⁡g\operatorname{Im} g este chiar [−1,1][-1, 1]).

    Atunci (f∘g)(x)=(2xx2+1)3(f \circ g)(x) = \left(\dfrac{2x}{x^2 + 1}\right)^3.

    Verifică-te

    Între ce valori se află (f∘g)(x)=(g(x))3(f \circ g)(x) = (g(x))^3?
    −3−2−1123−2−112Oxy
    gg

    Valorile lui gg (punctat) stau între −1-1 și 11; ridicate la cub (linia plină, f∘gf \circ g), rămân tot acolo.

  2. 2. Demonstrația

    Fie ff monotonă și Im⁡g=[a,b]\operatorname{Im} g = [a, b]. Fie x∈Rx \in \mathbb R; vrem margini pentru f(g(x))f(g(x)) care să nu depindă de xx.

    Verifică-te

    Ce știm sigur despre numărul g(x)g(x)?

    Dacă ff este crescătoare, din a≤g(x)≤ba \le g(x) \le b rezultă f(a)≤f(g(x))≤f(b)f(a) \le f(g(x)) \le f(b).

    Dacă ff este descrescătoare, inegalitățile se întorc: f(b)≤f(g(x))≤f(a)f(b) \le f(g(x)) \le f(a).

    În ambele cazuri, (f∘g)(x)(f \circ g)(x) este între f(a)f(a) și f(b)f(b) pentru orice xx, deci f∘gf \circ g este mărginită.

    Altfel spus, cu a): restricția lui ff la [a,b][a, b] este monotonă, deci mărginită, iar f∘gf \circ g folosește doar valori ale lui ff pe [a,b][a, b].

  3. 3. De ce trebuie ca ff să fie monotonă

    Fără monotonie, concluzia poate să cadă. Fie f(x)=1xf(x) = \dfrac1x pentru x≠0x \ne 0 și f(0)=0f(0) = 0, care nu e monotonă pe [−1,1][-1, 1] (f(−1)=−1f(-1) = -1, f(0)=0f(0) = 0, f(1)=1f(1) = 1, dar f(12)=2f\left(\frac12\right) = 2).

    Cu același gg, pentru x≠0x \ne 0: (f∘g)(x)=x2+12x(f \circ g)(x) = \dfrac{x^2 + 1}{2x}, care crește oricât când xx se apropie de 00: pentru x=0,01x = 0{,}01 dă 50,00550{,}005.

Răspuns
Pentru orice xx, g(x)∈[a,b]g(x) \in [a, b]. Dacă ff este crescătoare, f(a)≤(f∘g)(x)≤f(b)f(a) \le (f \circ g)(x) \le f(b); dacă este descrescătoare, f(b)≤(f∘g)(x)≤f(a)f(b) \le (f \circ g)(x) \le f(a). Deci f∘gf \circ g este mărginită.