MateClar
← Capitol

Manual · pagina 83

Exercițiul 14 · Paritatea compusei

(Activitate în pereche) Fie f,g:R→Rf, g : \mathbb R \to \mathbb R două funcții.

a) Justificați că dacă ambele funcții sunt pare sau ambele impare, compusa lor este o funcție pară.

b) Verificați dacă în cazul a două funcții cu parități diferite compusa lor este impară.

a)Justificați că dacă ambele funcții sunt pare sau ambele impare, compusa lor este o funcție pară.

Calculează (f∘g)(−x)=f(g(−x))(f \circ g)(-x) = f(g(-x)) și folosește întâi paritatea lui gg (funcția din interior), apoi, dacă e nevoie, pe cea a lui ff.

  1. 1. Ce trebuie verificat

    Compusa f∘gf \circ g este definită tot pe R\mathbb R. Ca să-i aflăm paritatea, comparăm (f∘g)(−x)=f(g(−x))(f \circ g)(-x) = f(g(-x)) cu (f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x)). Primul lucru de folosit este paritatea lui gg, funcția care primește −x-x.

  2. 2. Ambele funcții pare

    Verifică-te

    Dacă gg este pară, cu ce este egal f(g(−x))f(g(-x))?
    Deci (f∘g)(−x)=(f∘g)(x)(f \circ g)(-x) = (f \circ g)(x) pentru orice xx: compusa este pară. Am folosit doar că gg e pară; dacă funcția din interior e pară, compusa e pară, orice ar fi ff.
    −3−2−1123−11234Oxy
    f∘gf \circ g
    (−2,1)(-2, 1)
    (2,1)(2, 1)

    Pentru f(x)=x2f(x) = x^2 și g(x)=∣x∣−1g(x) = |x| - 1, ambele pare, (f∘g)(x)=(∣x∣−1)2(f \circ g)(x) = (|x| - 1)^2: graficul e simetric față de OyOy.

  3. 3. Ambele funcții impare

    Încercăm un exemplu: f(x)=x3f(x) = x^3 și g(x)=x2g(x) = \dfrac{x}{2}, amândouă impare. Atunci (f∘g)(x)=(x2)3=x38(f \circ g)(x) = \left(\dfrac{x}{2}\right)^3 = \dfrac{x^3}{8}, iar (f∘g)(2)=1(f \circ g)(2) = 1.

    Verifică-te

    Cât este (f∘g)(−2)(f \circ g)(-2)?
    În general, pentru gg impară, g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x), deci f(g(−x))=f(−g(x))f(g(-x)) = f(-g(x)).

    Verifică-te

    Dacă și ff este impară, cu ce este egal f(−g(x))f(-g(x))?
    Deci (f∘g)(−x)=−(f∘g)(x)(f \circ g)(-x) = -(f \circ g)(x): primul minus vine de la gg, iar ff îl păstrează. Compusa a două funcții impare este impară, nu pară.
    −3−2−1123−3−2−1123Oxy
    f∘gf \circ g
    (2,1)(2, 1)
    (−2,−1)(-2, -1)

    Pentru f(x)=x3f(x) = x^3 și g(x)=x2g(x) = \frac{x}{2}, graficul lui x38\frac{x^3}{8} e simetric față de origine, nu față de OyOy.

Răspuns
Dacă ff și gg sunt pare, f(g(−x))=f(g(x)){f(g(-x)) = f(g(x))}, deci f∘g{f \circ g} este pară. Dacă ff și gg sunt impare, f(g(−x))=−f(g(x)){f(g(-x)) = -f(g(x))}, deci f∘g{f \circ g} este impară (nu pară, cum afirmă enunțul).

b)Verificați dacă în cazul a două funcții cu parități diferite compusa lor este impară.

Încearcă întâi un exemplu simplu, cu x2x^2 și x3x^3. Apoi calculează f(g(−x))f(g(-x)) în cele două cazuri: gg pară, respectiv gg impară.

  1. 1. Un exemplu

    Fie f(x)=x2f(x) = x^2 (pară) și g(x)=x3g(x) = x^3 (impară). Atunci (f∘g)(x)=(x3)2=x6(f \circ g)(x) = (x^3)^2 = x^6, iar (f∘g)(1)=1(f \circ g)(1) = 1.

    Verifică-te

    Cât este (f∘g)(−1)(f \circ g)(-1)?
    Deci (f∘g)(−1)=(f∘g)(1)(f \circ g)(-1) = (f \circ g)(1), nu −(f∘g)(1)-(f \circ g)(1): în acest exemplu compusa nu este impară. Ce paritate are, în general?

  2. 2. Cele două cazuri

    Cazul 1: ff pară, gg impară. Din gg impară, g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x), deci f(g(−x))=f(−g(x))f(g(-x)) = f(-g(x)).

    Verifică-te

    Cu ce este egal f(−g(x))f(-g(x)), pentru ff pară?

    Deci (f∘g)(−x)=(f∘g)(x)(f \circ g)(-x) = (f \circ g)(x): compusa este pară.

    Cazul 2: ff impară, gg pară. Atunci g(−x)=g(x)g(-x) = g(x), deci f(g(−x))=f(g(x))f(g(-x)) = f(g(x)): din nou compusa este pară (ca la a), funcția din interior pară face compusa pară).

    −2−112−2−112Oxy
    x6x^6
    (−1,1)(-1, 1)
    (1,1)(1, 1)
    (−1,−1)(-1, -1)

    Graficul lui x6x^6 e simetric față de OyOy. Pentru o funcție impară ar fi trebuit să treacă prin (−1,−1)(-1, -1) (cerculețul gol).

  3. 3. Răspunsul la întrebare

    În ambele cazuri compusa este pară, deci în general nu este impară.

    Singura excepție: o funcție care e și pară, și impară are h(x)=−h(x)h(x) = -h(x), adică h(x)=0h(x) = 0 pentru orice xx. De exemplu, f(x)=xf(x) = x (impară) și g(x)=0g(x) = 0 (pară) dau f∘g=0f \circ g = 0, funcția nulă, care e simultan pară și impară.

Răspuns
Nu: dacă una dintre funcții este pară și cealaltă impară, compusa lor este pară (în orice ordine). Ea este impară doar în cazul particular în care este funcția nulă.