Manual · pagina 83

Exercițiul 15 · Când $f \circ f$ și $f \circ f \circ f$ sunt date

a) Demonstrează că nu există o funcție $f : \mathbb R \to \mathbb R$ cu proprietățile $(f \circ f)(x) = 4x$ și $(f \circ f \circ f)(x) = 3x$ pentru orice $x$ real.

b) Identifică o relație între $a$ și $b$ astfel încât să existe funcții $f : \mathbb R \to \mathbb R$ cu proprietățile $(f \circ f)(x) = ax$ și $(f \circ f \circ f)(x) = bx$ pentru orice $x$ real și află apoi funcțiile.

a)Demonstrează că nu există $f : \mathbb R \to \mathbb R$ cu $(f \circ f)(x) = 4x$ și $(f \circ f \circ f)(x) = 3x$ , $\forall x \in \mathbb R$ .

Presupune că o astfel de funcție există. Compunerea

f \circ f \circ f

se poate citi ca

(f \circ f)

aplicată lui

f(x)

. Ce afli despre

f(x)

1. Ce se cere și cum începem
Trebuie arătat că nicio funcție nu are ambele proprietăți. Nu putem încerca toate funcțiile, așa că folosim reducerea la absurd (din capitolul 1): presupunem că o astfel de $f$ există și ajungem la o contradicție.
Nu știm formula lui $f$ . Știm doar ce fac compunerile ei, deci lucrăm cu definiția compunerii.
Compunerea funcțiilor (manual, p. 80)
$(g \circ f)(x) = g(f(x))$ : întâi se aplică $f$ , apoi $g$ rezultatului.
Compunerea este asociativă: $(h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f)$ , de aceea se scrie fără paranteze, $(h \circ g \circ f)(x) = h(g(f(x)))$ .
2. Citim $f \circ f \circ f$ ca $(f \circ f) \circ f$
Prin asociativitate, $f \circ f \circ f = (f \circ f) \circ f$ . Deci
$(f \circ f \circ f)(x) = (f \circ f)\big(f(x)\big).$
Prima proprietate spune că $(f \circ f)(y) = 4y$ pentru orice număr real $y$ . Aplicăm această regulă numărului $y = f(x)$ .
Verifică-te
Cu ce este egal $(f \circ f)\big(f(x)\big)$ ?
Pe de altă parte, a doua proprietate spune că $(f \circ f \circ f)(x) = 3x$ . Cele două scrieri ale aceluiași număr trebuie să fie egale:
$4 f(x) = 3x, \quad \text{deci} \quad f(x) = \frac34 x, \ \forall x \in \mathbb R$
3. Contradicția
Am aflat că, dacă $f$ există, formula ei este obligatoriu $f(x) = \frac34 x$ . Verificăm dacă ea respectă prima proprietate, de exemplu în $x = 1$ .
Verifică-te
Pentru $f(x) = \dfrac34 x$ , cât este $f(f(1))$ ?
Prima proprietate cere $(f \circ f)(1) = 4 \cdot 1 = 4$ , dar am obținut $\frac{9}{16} \ne 4$ . În general, $(f \circ f)(x) = \frac{9}{16}x$ , nu $4x$ .
Presupunerea ne-a dus la o contradicție, deci nu există o funcție cu ambele proprietăți.
Fiecare proprietate, singură, este posibilă
Funcția $f(x) = 2x$ verifică $(f \circ f)(x) = 4x$ , iar $f(x) = \sqrt[3]{3}\, x$ verifică $(f \circ f \circ f)(x) = 3x$ . Imposibilă este doar perechea de proprietăți, de aceea demonstrația le-a folosit pe amândouă.

Răspuns

Dacă

f

ar exista, atunci

(f \circ f)(f(x)) = 4f(x) = 3x

, deci

f(x) = \frac34 x

. Dar atunci

(f \circ f)(x) = \frac{9}{16}x \ne 4x

, contradicție. Deci nu există o astfel de funcție.

b)Ce relație trebuie să existe între $a$ și $b$ ca să existe $f : \mathbb R \to \mathbb R$ cu $(f \circ f)(x) = ax$ și $(f \circ f \circ f)(x) = bx$ , $\forall x \in \mathbb R$ ? Află funcțiile.

Repetă ideea de la a): scrie

f \circ f \circ f

(f \circ f) \circ f

. Vei obține o egalitate între

a f(x)

și

bx

; desparte cazurile

a \ne 0

și

a = 0

1. Aceeași idee ca la a)
Presupunem că $f$ are ambele proprietăți. Ca la a), prin asociativitatea compunerii (manual, p. 80), $f \circ f \circ f = (f \circ f) \circ f$ , iar regula $(f \circ f)(y) = ay$ se aplică numărului $y = f(x)$ :
$\begin{aligned} (f \circ f \circ f)(x) &= (f \circ f)\big(f(x)\big) \\ &= a f(x). \end{aligned}$
Dar $(f \circ f \circ f)(x) = bx$ . Deci, pentru orice $x$ real:
$a \cdot f(x) = b x$
Ca să aflăm $f(x)$ ar trebui să împărțim la $a$ , ceea ce merge doar dacă $a \ne 0$ . De aceea tratăm separat cazurile $a \ne 0$ și $a = 0$ .
2. Cazul $a \ne 0$
Împărțim la $a$ : $f(x) = \dfrac ba x$ . Notăm $k = \dfrac ba$ , deci $f(x) = kx$ . Funcția este obligatoriu de această formă; rămâne să vedem când respectă proprietățile.
Compunem: $(f \circ f)(x) = f(kx) = k \cdot kx = k^2 x$ . Prima proprietate cere $k^2 x = ax$ pentru orice $x$ , adică $k^2 = a$ .
Verifică-te
Ce relație între $a$ și $b$ dă $k^2 = a$ , pentru $k = \dfrac ba$ ?
Și a doua proprietate? $(f \circ f \circ f)(x) = k^3 x$ , iar $k^3 x = k \cdot k^2 x = \frac ba \cdot a x = bx$ : este respectată automat.
Cum $a^3 = b^2 \ge 0$ și $a \ne 0$ , avem $a > 0$ , iar $k^2 = a$ dă $k = \sqrt a$ sau $k = -\sqrt a$ . Semnul lui $k$ este semnul lui $b$ , pentru că $b = ka$ și $a > 0$ :
dacă $b = a\sqrt a$ , atunci $f(x) = \sqrt a\, x$ ;
dacă $b = -a\sqrt a$ , atunci $f(x) = -\sqrt a\, x$ .
3. Cazul $a = 0$
Egalitatea $a f(x) = bx$ devine $0 = bx$ pentru orice $x$ ; pentru $x = 1$ rezultă $b = 0$ . Și aici $b^2 = a^3$ , pentru că ambele sunt $0$ .
Acum proprietățile cer $f(f(x)) = 0$ și $f(f(f(x))) = 0$ pentru orice $x$ . A doua rezultă din prima: $f(f(f(x))) = (f \circ f)\big(f(x)\big) = 0$ .
Funcția constantă $f(x) = 0$ convine. Dar nu este singura: de exemplu, $f(x) = 0$ pentru $x \le 0$ și $f(x) = -x$ pentru $x > 0$ . Pentru $x > 0$ , $f(x) = -x < 0$ , deci $f(f(x)) = 0$ ; pentru $x \le 0$ , $f(f(x)) = f(0) = 0$ .
De ce aici sunt mai multe funcții
Când $a \ne 0$ , egalitatea ${a f(x) = bx}$ fixează complet pe $f$ . Când $a = 0$ , ea devine $0 = 0$ și nu mai spune nimic despre $f$ ; rămâne doar condiția $f(f(x)) = 0$ .
4. Concluzia, pe un exemplu
Funcții $f$ există exact când $b^2 = a^3$ . Pentru $a \ne 0$ funcția este unică, $f(x) = \dfrac ba x$ ; pentru $a = b = 0$ sunt chiar mai multe.
De exemplu, $a = 4$ și $b = 8$ verifică $8^2 = 64 = 4^3$ , iar $f(x) = \frac84 x = 2x$ : $(f \circ f)(x) = 4x$ și $(f \circ f \circ f)(x) = 8x$ .
Verifică-te
Pentru $a = 9$ și $b = -27$ , ce funcție $f$ obții?

Răspuns

Relația este

b^2 = a^3

. Pentru

a \ne 0

(deci

a > 0

f(x) = \dfrac ba x

, adică

f(x) = \sqrt a\, x

dacă

b = a\sqrt a

și

f(x) = -\sqrt a\, x

dacă

b = -a\sqrt a

. Pentru

a = b = 0

: orice

f

f(f(x)) = 0

, de exemplu

f(x) = 0

. Exemplu:

a = 4

b = 8

f(x) = 2x

Exercițiul 15 · Când f∘ff \circ ff∘f și f∘f∘ff \circ f \circ ff∘f∘f sunt date

a)Demonstrează că nu există f:R→Rf : \mathbb R \to \mathbb Rf:R→R cu (f∘f)(x)=4x(f \circ f)(x) = 4x(f∘f)(x)=4x și (f∘f∘f)(x)=3x(f \circ f \circ f)(x) = 3x(f∘f∘f)(x)=3x, ∀x∈R\forall x \in \mathbb R∀x∈R.

1. Ce se cere și cum începem ✓

2. Citim f∘f∘ff \circ f \circ ff∘f∘f ca (f∘f)∘f(f \circ f) \circ f(f∘f)∘f ✓

3. Contradicția ✓

b)Ce relație trebuie să existe între aaa și bbb ca să existe f:R→Rf : \mathbb R \to \mathbb Rf:R→R cu (f∘f)(x)=ax(f \circ f)(x) = ax(f∘f)(x)=ax și (f∘f∘f)(x)=bx(f \circ f \circ f)(x) = bx(f∘f∘f)(x)=bx, ∀x∈R\forall x \in \mathbb R∀x∈R? Află funcțiile.

1. Aceeași idee ca la a) ✓

2. Cazul a≠0a \ne 0a=0 ✓

3. Cazul a=0a = 0a=0 ✓

4. Concluzia, pe un exemplu ✓

Exercițiul 15 · Când $f \circ f$ și $f \circ f \circ f$ sunt date

a)Demonstrează că nu există $f : \mathbb R \to \mathbb R$ cu $(f \circ f)(x) = 4x$ și $(f \circ f \circ f)(x) = 3x$ , $\forall x \in \mathbb R$ .

1. Ce se cere și cum începem

2. Citim $f \circ f \circ f$ ca $(f \circ f) \circ f$

3. Contradicția

b)Ce relație trebuie să existe între $a$ și $b$ ca să existe $f : \mathbb R \to \mathbb R$ cu $(f \circ f)(x) = ax$ și $(f \circ f \circ f)(x) = bx$ , $\forall x \in \mathbb R$ ? Află funcțiile.

1. Aceeași idee ca la a)

2. Cazul $a \ne 0$

3. Cazul $a = 0$

4. Concluzia, pe un exemplu