Manual · pagina 83

Exercițiul 16 · $g \circ f = 1_{\mathbb N}$ pentru $f(x) = 2x$

Fie $f : \mathbb N \to \mathbb N$ , $f(x) = 2x$ .

a) Demonstrează că există o infinitate de funcții $g : \mathbb N \to \mathbb N$ astfel încât $g \circ f = 1_{\mathbb N}$ .

b) Există funcții $g : \mathbb N \to \mathbb N$ astfel încât $f \circ g = 1_{\mathbb N}$ ? Justifică.

a)Demonstrează că există o infinitate de funcții $g : \mathbb N \to \mathbb N$ cu ${g \circ f = 1_{\mathbb N}}$ .

Scrie ce înseamnă

g(f(x)) = x

pentru

f(x) = 2x

. Pe ce numere spune această condiție ceva despre

g

, și pe care nu?

1. Ce înseamnă ${g \circ f = 1_{\mathbb N}}$
Funcția identică (manual, p. 81)
$1_A : A \to A$ , $1_A(x) = x$ pentru orice $x \in A$ : funcția care lasă fiecare element pe loc.
Egalitatea ${g \circ f = 1_{\mathbb N}}$ înseamnă $g(f(x)) = x$ pentru orice $x \in \mathbb N$ (compunerea, manual, p. 80). Cum $f(x) = 2x$ , condiția devine:
$g(2x) = x, \quad \forall x \in \mathbb N.$
Adică $g$ trebuie să „desfacă” dublarea: primește $2x$ și îl dă înapoi pe $x$ .
2. Ce fixează condiția și ce lasă liber
Condiția $g(2x) = x$ vorbește despre valorile lui $g$ în numerele $2x$ , adică $0, 2, 4, 6, \dots$
Verifică-te
Ce valoare trebuie să aibă $g(10)$ ?
Verifică-te
Ce spune condiția $g(2x) = x$ despre $g(7)$ ?
3. O infinitate de funcții
Deci $g$ este fixată pe numerele pare, $g(y) = \frac y2$ , iar pe numerele impare o alegem cum vrem. Pentru fiecare $k \in \mathbb N$ definim:
$g_k(y) = \begin{cases} \dfrac y2, & y \text{ par} \\[4pt] k, & y \text{ impar} \end{cases}$
Fiecare $g_k$ are valori naturale și verifică $g_k(f(x)) = g_k(2x) = \frac{2x}2 = x$ , deci ${g_k \circ f = 1_{\mathbb N}}$ .
Funcțiile sunt diferite între ele, pentru că $g_k(1) = k$ : $g_0(1) = 0$ , $g_1(1) = 1$ , $g_2(1) = 2$ , … Avem câte una pentru fiecare număr natural $k$ , deci o infinitate.
Funcția $g_1$ : numerele pare se întorc la $x$ (obligatoriu), numerele impare merg toate în $1$ (alegere liberă).

Răspuns

Condiția

{g \circ f = 1_{\mathbb N}}

înseamnă

g(2x) = x

: ea fixează pe

g

doar pe numerele pare. Funcțiile

g_k(y) = \frac y2

pentru

y

par și

g_k(y) = k

pentru

y

impar (

k \in \mathbb N

) verifică toate

{g_k \circ f = 1_{\mathbb N}}

și sunt diferite (

g_k(1) = k

), deci sunt o infinitate.

b)Există funcții $g : \mathbb N \to \mathbb N$ astfel încât ${f \circ g = 1_{\mathbb N}}$ ? Justifică.

Acum

g

se aplică primul, apoi

f

dublează rezultatul. Ce fel de numere poate da

f(g(y))

? Încearcă

y = 1

1. Ce înseamnă ${f \circ g = 1_{\mathbb N}}$
Ordinea s-a schimbat față de a): acum $(f \circ g)(y) = f(g(y)) = 2 g(y)$ (manual, p. 80). Condiția ${f \circ g = 1_{\mathbb N}}$ (funcția identică, manual, p. 81) cere deci:
$2\, g(y) = y, \quad \forall y \in \mathbb N.$
Ea trebuie să fie adevărată pentru fiecare $y$ . Încercăm un $y$ mic.
Verifică-te
Pentru $y = 1$ , ce valoare ar trebui să aibă $g(1)$ ?
2. Concluzia
Orice ar fi $g(1) \in \mathbb N$ , numărul $f(g(1)) = 2 g(1)$ este par, deci diferit de $1$ . Așadar nu există $g : \mathbb N \to \mathbb N$ cu ${f \circ g = 1_{\mathbb N}}$ .
Mai general, $f$ dă numai numere pare, deci $f(g(y)) = y$ este imposibil pentru orice $y$ impar.
Numerele impare $1, 3, 5, 7, \dots$ nu primesc nicio săgeată de la $f$ , deci $f(g(1)) = 1$ nu se poate obține.
Compunerea nu este comutativă (manual, p. 81)
La a) am găsit o infinitate de funcții $g$ cu ${g \circ f = 1_{\mathbb N}}$ , iar aici niciuna cu ${f \circ g = 1_{\mathbb N}}$ . Ordinea compunerii contează.

Răspuns

Nu. Condiția

{f \circ g = 1_{\mathbb N}}

înseamnă

2 g(y) = y

pentru orice

y

; pentru

y = 1

ar trebui

g(1) = \frac12 \notin \mathbb N

. Altfel spus,

f(g(1))

este par, deci nu poate fi

1

Exercițiul 16 · g∘f=1Ng \circ f = 1_{\mathbb N}g∘f=1N​ pentru f(x)=2xf(x) = 2xf(x)=2x

a)Demonstrează că există o infinitate de funcții g:N→Ng : \mathbb N \to \mathbb Ng:N→N cu g∘f=1N{g \circ f = 1_{\mathbb N}}g∘f=1N​.

1. Ce înseamnă g∘f=1N{g \circ f = 1_{\mathbb N}}g∘f=1N​ ✓

2. Ce fixează condiția și ce lasă liber ✓

3. O infinitate de funcții ✓

b)Există funcții g:N→Ng : \mathbb N \to \mathbb Ng:N→N astfel încât f∘g=1N{f \circ g = 1_{\mathbb N}}f∘g=1N​? Justifică.

1. Ce înseamnă f∘g=1N{f \circ g = 1_{\mathbb N}}f∘g=1N​ ✓

2. Concluzia ✓

Exercițiul 16 · $g \circ f = 1_{\mathbb N}$ pentru $f(x) = 2x$

a)Demonstrează că există o infinitate de funcții $g : \mathbb N \to \mathbb N$ cu ${g \circ f = 1_{\mathbb N}}$ .

1. Ce înseamnă ${g \circ f = 1_{\mathbb N}}$

2. Ce fixează condiția și ce lasă liber

3. O infinitate de funcții

b)Există funcții $g : \mathbb N \to \mathbb N$ astfel încât ${f \circ g = 1_{\mathbb N}}$ ? Justifică.

1. Ce înseamnă ${f \circ g = 1_{\mathbb N}}$

2. Concluzia