Manual · pagina 84

Exercițiul 17 · Venitul unui cinematograf

Managerul unui cinematograf observă că numărul de spectatori depinde de prețul biletului. În prezent, prețul este de 20 de lei și vin 100 de spectatori pe seară. Studiile de piață arată că pentru fiecare ieftinire cu 1 leu a biletului, numărul spectatorilor crește cu 10 persoane.

Notăm cu $x$ numărul de lei cu care se reduce prețul biletului $(0 \le x < 20)$ . Definim două funcții:

funcția preț: $p(x) = 20 - x$ (noul preț al biletului);

funcția număr clienți: $n(x) = 100 + 10x$ (numărul de spectatori după ieftinire).

a) Determină funcția venit total, $V(x)$ , definită ca produsul dintre preț și numărul de clienți $(V = p \cdot n)$ .

b) Calculează venitul total, dacă managerul decide o reducere de 5 lei $(x = 5)$ .

a)Determină funcția venit total, $V(x)$ , definită ca produsul dintre preț și numărul de clienți $(V = p \cdot n)$ .

Venitul unei seri este prețul unui bilet înmulțit cu numărul de bilete vândute. Înmulțește cele două formule și desfă parantezele.

1. Ce înseamnă venitul ca produs de funcții
Într-o seară se vând $n(x)$ bilete, fiecare cu $p(x)$ lei, deci se încasează $p(x) \cdot n(x)$ lei. De exemplu, azi ( $x = 0$ ): $20 \cdot 100 = 2000$ de lei.
Funcția $V$ este produsul funcțiilor $p$ și $n$ , definită pe același domeniu, $[0, 20)$ .
Produsul funcțiilor (manual, p. 79)
Pentru $f, g : D \to \mathbb R$ , funcția $f \cdot g : D \to \mathbb R$ , $(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$ , se numește produsul funcțiilor $f$ și $g$ .
$\begin{aligned} V(x) &= (p \cdot n)(x) \\ &= (20 - x)(100 + 10x) \end{aligned}$
2. Desfacem parantezele
Înmulțim fiecare termen din prima paranteză cu fiecare termen din a doua: $20 \cdot 100$ , $20 \cdot 10x$ , $(-x) \cdot 100$ și $(-x) \cdot 10x$ .
Verifică-te
Ce obții după ce desfaci ${(20 - x)(100 + 10x)}$ și reduci termenii asemenea?
3. Verificăm pe câteva valori
Deci $V : [0, 20) \to \mathbb R$ , $V(x) = -10x^2 + 100x + 2000$ . Comparăm cu produsul calculat direct:
$x$ $p(x) \cdot n(x)$
$0$ ${20 \cdot 100 = 2000}$
$2$ ${18 \cdot 120 = 2160}$
$10$ ${10 \cdot 200 = 2000}$
Formula desfăcută dă aceleași valori; de exemplu, pentru $x = 2$ : $-10 \cdot 4 + 200 + 2000 = 2160$ . Observă că o reducere de $10$ lei aduce același venit ca acum: biletele sunt la jumătate de preț, dar vin de două ori mai mulți spectatori.

$x$	$p(x) \cdot n(x)$
$0$	${20 \cdot 100 = 2000}$
$2$	${18 \cdot 120 = 2160}$
$10$	${10 \cdot 200 = 2000}$

Răspuns

V : [0, 20) \to \mathbb R

V(x) = (20 - x)(100 + 10x)

, adică

V(x) = -10x^2 + 100x + 2000

b)Calculează venitul total, dacă managerul decide o reducere de 5 lei $(x = 5)$ .

Află întâi noul preț și noul număr de spectatori pentru

x = 5

, apoi înmulțește-le.

1. Prețul și spectatorii pentru $x = 5$
Cerem $V(5)$ . Cel mai sigur drum este cel din definiție: $V(5) = p(5) \cdot n(5)$ . Fiecare factor are și un sens concret, deci putem verifica dacă e plauzibil.
Prețul devine $p(5) = 20 - 5 = 15$ lei, iar numărul de spectatori $n(5) = 100 + 10 \cdot 5$ .
Verifică-te
Cât este venitul $V(5) = p(5) \cdot n(5)$ ?
Verificare cu formula de la a): $V(5) = -10 \cdot 25 + 100 \cdot 5 + 2000$ , adică $-250 + 500 + 2000$ , același rezultat.
2. Ce înseamnă rezultatul
Cu biletul la $15$ lei vin $150$ de spectatori și venitul unei seri este de $2250$ de lei, cu $250$ de lei mai mult decât acum ( $2000$ de lei). Reducerea de $5$ lei este profitabilă.
Graficul lui $V$ arată mai mult: venitul urcă de la $2000$ până la $x = 5$ , apoi coboară.
Venitul $V(x)$ pentru reducerea $x$ , în lei; pe axa $Oy$ venitul este în sute de lei ( $20$ înseamnă $2000$ de lei). Linia punctată este venitul de azi.
De ce $5$ lei este cea mai bună reducere
Prin restrângerea pătratului (din gimnaziu), $V(x) = 2250 - 10(x - 5)^2$ . Pătratul $(x - 5)^2$ este cel puțin $0$ , deci $V(x) \le 2250$ pentru orice $x$ , cu egalitate doar la $x = 5$ . Managerul a ales chiar reducerea cu venitul maxim.

Răspuns

V(5) = 15 \cdot 150 = 2250

de lei: cu biletul la

15

lei vin

150

de spectatori, iar venitul crește cu

250

de lei față de acum.

Exercițiul 17 · Venitul unui cinematograf

a)Determină funcția venit total, V(x)V(x)V(x), definită ca produsul dintre preț și numărul de clienți (V=p⋅n)(V = p \cdot n)(V=p⋅n).

1. Ce înseamnă venitul ca produs de funcții ✓

2. Desfacem parantezele ✓

3. Verificăm pe câteva valori ✓

b)Calculează venitul total, dacă managerul decide o reducere de 5 lei (x=5)(x = 5)(x=5).

1. Prețul și spectatorii pentru x=5x = 5x=5 ✓

2. Ce înseamnă rezultatul ✓

a)Determină funcția venit total, $V(x)$ , definită ca produsul dintre preț și numărul de clienți $(V = p \cdot n)$ .

1. Ce înseamnă venitul ca produs de funcții

2. Desfacem parantezele

3. Verificăm pe câteva valori

b)Calculează venitul total, dacă managerul decide o reducere de 5 lei $(x = 5)$ .

1. Prețul și spectatorii pentru $x = 5$

2. Ce înseamnă rezultatul